1. Основные этапы развития топологии
Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18-19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части).
В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Топология (метрическое - М. Фреше, топологическое - Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти.
Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Топология и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П.С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П.С. Александров); строится теория компактных пространств (П.С. Александров, П.С Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А.Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (П.С. Александров, П.С. Урысон); вводится понятие локально конечного покрытия; вводятся вполне регулярные пространства (А.Н. Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий.
Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л.С. Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.
Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Топология и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун - чеховское, или максимальное, (би) компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств, в группы когомологий вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Топология царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Топология иногда и до сих пор называется комбинаторной Топология Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Топология. Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий. Возникает теория расслоений; вводятся клеточные пространства.
Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Топология и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории (би) компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов.
Усилиями ряда учёных окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Топология в США, Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Топология Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора, алгебраическая Топология получает широкие применения в гладкой Топология и алгебраической геометрии развивается теория (ко) бордизмов и теория сглаживания и триангулируемости.
В настоящее время Топология продолжает развиваться во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется.