4. Топологическое пространство
Топологическое пространство - основной объект изучения топологии. Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.
Итак, топологическое пространство определяется через систему открытых множеств посредством аксиом. Естественно, само это понятие базируется на предварительных общих понятиях «пространство» и «открытое множество».
В современной математике пространство определяют как некоторое абстрактное множество произвольных объектов, для которых задана определённая операция, осуществляющая известное отношение между элементами пространства. Базой для построения теории того или иного абстрактного пространства является, с одной стороны, общематематическое понятие множества, под которым понимается произвольная совокупность любых объектов (элементов), а с другой, - установленные определённым образом структурные отношения между этими объектами.
Пусть дано множество X. Множество T его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:
- Все X и пустое множество принадлежат T,
- Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T, принадлежит T,
- Пересечение двух множеств, принадлежащих T, принадлежит T.
Множество X вместе с заданной на нем топологией T называется топологическим пространством. Подмножества X, принадлежащие T, называются открытыми множествами.
Потребность в развитии общего подхода к понятию пространства возникла довольно давно - в конце прошлого и начале нынешнего столетия. В связи с развитием теории функций действительного переменного и функционального анализа возникли и другие объекты - функциональные пространства и их подмножества, - для исследования которых также требуются понятия и методы общей топологии.
В настоящее время топологические методы исследования применяются не только в анализе, но и во многих других отраслях математики. Значительной является роль топологических методов в дифференциальных уравнениях. В результате синтеза идей общей топологии и функционального анализа возникла теория топологических векторных пространств. Абстрактные топологические пространства неожиданным образом могут возникать и применяться в самых различных областях математики.
Общепринятое ныне понятие топологического пространства возникло не сразу. Появившееся ранее метрические пространства, которые и по сей день являются важным предметом изучения общей топологии, не могли удовлетворить математиков.
Первые достаточно общие определения топологического пространства даны в работах Фреше, Рисса и Хаусдорфа. Окончательно определение топологического пространства было сформулировано польским математиком К. Куратовским и П.С. Александровым.