2.Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1:

Усяка збіжна послідовність має тільки одну межу.

Доказ:

Припустимо, що послідовність {x_n} має дві межі (а ? b)

x_n > a, отже x_n = a + б_n, де б_n елемент нескінченно малої послідовності;

x_n > b, отже x_n = b + в_n, де в_n елемент нескінченно малої послідовності;

Оцінимо різницю даних рівностей 0 = a - b + (б_n - в_n),

позначимо б_n - в_n = г_n, г_n - елемент нескінченно малої послідовності,

отже, г_n = b - a,

а це означає, що всі елементи нескінченно малої послідовності рівні тому самому числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малої послідовності,

отже, b = a,

отже, послідовність не може мати двох різних меж.

Теорема 2:

Якщо всі елементи послідовності {x_n} рівні З (постійної), то межа послідовності {x_n}, теж дорівнює С.

Доказ:

З визначення межі, треба, З = З + 0.

Теорема 3:

Якщо послідовності {x_n} і {у_n} сходяться, то й послідовність {x_n + у_n} також сходиться і її межа дорівнює сумі її що складаються (меж).

Доказ:

x_n > a, отже x_n = a + б_n

у_n > b, отже у_n = b + в_n

x_n + у_n = а + b + (б_n + в_n)

позначимо б_n - в_n = г_n, отже x_n + у_n = а + b + г_n, г_n елемент нескінченно малої послідовності;

отже,

Наслідок: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність збіжна, і її межа дорівнює різниці їхніх меж.

Теорема 4:

Якщо послідовності {x_n} і {у_n} сходяться, то й послідовність {x_n * у_n} також сходиться і її межа дорівнює добутку її множників (меж).

Доказ:

x_n > a, отже x_n = a + б_n

у_n > b, отже у_n = b + в_n

x_n * у_n = (а + б_n)*(b + в_n)=аb+(а в_n + bб_n + б_n в_n)

позначимо г_n = а в_n + bб_n + б_n в_n, де г_n елемент нескінченно малої послідовності, виходить

x_n * у_n = ab+ г_n,

отже,

Теорема 5:

Якщо послідовності {x_n} і {у_n} сходяться до чисел а й b відповідно, і якщо b ? 0, межа частки існує, кінцевий і дорівнює частці меж.

Доказ:

Так як послідовність {у_n} сходиться до b, те по визначенню збіжної послідовності, для будь-якого е > 0, найдеться N(е), такий що для всіх n > N, буде виконаються нерівність |b - y_n|< е.

Тоді поклавши , бачимо, що

,

звідки треба

отже

.

Так як, відповідно до умови b ? 0, то з останньої нерівності треба, що для всіх n > N елементи послідовності {у_n} не рівні 0, значить саме із цього номера N можна визначити послідовність

x_n = a + б_n

у_n = b + в_n, отже

позначимо г_n = б_пb - aв_n, г_n елемент нескінченно малої послідовності.

,

а тоді з останньої рівності, треба

,

звідки