Межа послідовності. Теорема Штольца
2.Властивості збіжних послідовностей
Теорема 1:
Усяка збіжна послідовність має тільки одну межу.
Доказ:
Припустимо, що послідовність {xn} має дві межі (а ? b)
xn > a, отже xn = a + бn, де бn елемент нескінченно малої послідовності;
xn > b, отже xn = b + вn, де вn елемент нескінченно малої послідовності;
Оцінимо різницю даних рівностей 0 = a - b + (бn - вn),
позначимо бn - вn = гn, гn - елемент нескінченно малої послідовності,
отже, гn = b - a,
а це означає, що всі елементи нескінченно малої послідовності рівні тому самому числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малої послідовності,
отже, b = a,
отже, послідовність не може мати двох різних меж.
Теорема 2:
Якщо всі елементи послідовності {xn} рівні З (постійної), то межа послідовності {xn}, теж дорівнює С.
Доказ:
З визначення межі, треба, З = З + 0.
Теорема 3:
Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність {xn + уn} також сходиться і її межа дорівнює сумі її що складаються (меж).
Доказ:
xn > a, отже xn = a + бn
уn > b, отже уn = b + вn
xn + уn = а + b + (бn + вn)
позначимо бn - вn = гn, отже xn + уn = а + b + гn, гn елемент нескінченно малої послідовності;
отже,
Наслідок: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність збіжна, і її межа дорівнює різниці їхніх меж.
Теорема 4:
Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність {xn * уn} також сходиться і її межа дорівнює добутку її множників (меж).
Доказ:
xn > a, отже xn = a + бn
уn > b, отже уn = b + вn
xn * уn = (а + бn)*(b + вn)=аb+(а вn + bбn + бn вn)
позначимо гn = а вn + bбn + бn вn, де гn елемент нескінченно малої послідовності, виходить
xn * уn = ab+ гn,
отже,
Теорема 5:
Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться до чисел а й b відповідно, і якщо b ? 0, межа частки існує, кінцевий і дорівнює частці меж.
Доказ:
Так як послідовність {уn} сходиться до b, те по визначенню збіжної послідовності, для будь-якого е > 0, найдеться N(е), такий що для всіх n > N, буде виконаються нерівність |b - yn|< е.
Тоді поклавши , бачимо, що
,
звідки треба
отже
.
Так як, відповідно до умови b ? 0, то з останньої нерівності треба, що для всіх n > N елементи послідовності {уn} не рівні 0, значить саме із цього номера N можна визначити послідовність
xn = a + бn
уn = b + вn, отже
позначимо гn = бпb - aвn, гn елемент нескінченно малої послідовності.
,
а тоді з останньої рівності, треба
,
звідки