1 Векторные пространства, их свойства и дополнительные структуры

Центральными понятиями линейной алгебры является вектор и векторное пространство.

Рассмотрим некоторое множество и будем говорить, что над элементами этого множества определены внутренняя и внешняя операции.

Полем P будем называть множество действительных или комплексных чисел, т.е. или .

Если каждой паре чисел x и y, принадлежащих множеству L, по некоторому правилу поставлен в соответствие элемент z из множества L, то говорят, что на множестве L определена внутренняя операция.

Если для каждого элемента х, принадлежащего L, и любого числа из поля Р поставлен в соответствие элемент у из множества L, то будем говорить, что задана внешняя операция.

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P -- скалярами.

Линейное или векторное пространство над полем Р - некоторое множество L, для которого определены внешняя и внутренняя операции и выполняются следующие условия:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. Существует такой элемент , что (существование нейтрального элемента относительно сложения);

4. Для любого элемента существует такой элемент , что х + = (существование противоположного элемента);

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (умножение на нейтральный элемент поля P сохраняет вектор);

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Условия 1-8 справедливы L и Р.

Для того, чтобы лучше осознать сущность линейных пространств, приведем их примеры. Следующие множества с известными операциями сложения элементов и умножения элементов на вещественные числа являются линейными пространствами над полем вещественных чисел:

а) множество вещественных чисел;

б) множество геометрических векторов в трехмерном пространстве (линейное пространство );

в) множество векторов, параллельных некоторой плоскости (прямой);

г) множество столбцов с элементами (линейное пространство );

д) множество -матриц с вещественными элементами (линейное пространство ).

Для каждого из указанных множеств выполняются восемь аксиом линейного пространства, причем нулевым элементом являются: число нуль для пространства а); нулевой вектор для пространств б) и в); столбец и -матрица, все элементы которых равны нулю, соответственно для пространств г) и д).

Из определения линейного пространства вытекают следующие утверждения или свойства:

1) В линейном пространстве R существует единственный нулевой элемент.

Предположим, что в линейном пространстве L существуют два нулевых вектора и . Тогда + = , так как -- нулевой элемент и + = , так как -- нулевой элемент. Сравнивая эти равенства и учитывая условие 1, получим = [3, с.103].

2) R существует единственный противоположный элемент x, выражающийся формулой .

Предположим, что для элемента имеются два противоположных ему элемента и . Тогда

С другой стороны,

Сравнивая результаты, имеем [3, с.103].

3) Произведение числа 0 на любой элемент х есть нулевой элемент.

Действительно,

[3, с.104].

4) .

С линейными пространствами в первую очередь связано понятие линейного подпространства - такое множество векторов из L, которое само является линейным пространством над полем P. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись 2 условия:

1. ;

2. .

Свойства подпространств:

· Пересечение любого семейства подпространств -- снова подпространство;

· Сумма конечного семейства подпространств -- снова подпространство.

Дополнительными структурами векторного пространства являются нормированное векторное пространство, топологическое линейное пространство, евклидово пространство и гильбертово пространство.

Векторное пространство, в котором определена норма, называется нормированным векторным пространством или просто нормированным пространством.

Топологическое линейное пространство - линейное пространство наделённое топологией, относительно которой операции сложения и умножения на число непрерывны.

Действительным евклидовым пространством или просто евклидовым пространством называется действительное линейное пространство, на элементах которого определено скалярное произведение.

Гильбертово пространство -- обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность.

Закончим этот раздел важнейшим понятием изоморфизма между двумя линейными пространствами U и V. Два линейных пространства U и V над одним и тем же полем P называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором сумме векторов пространства U отвечает сумма соответствующих векторов V, а произведению числа на вектор пространства U отвечает произведение того же числа на соответствующий вектор пространства V.

Таким образом, понятие линейного пространства относится к числу основных в математике. Абстрактное определение линейного пространства вводится следующим образом: непустое множество элементов любой природы называется линейным пространством, если для любых двух элементов L однозначно определен третий элемент z L, называемый их суммой и обозначаемый x + y , и для каждого числа и любого элемента x L определен элемент x L так, что введенные операции сложения и умножения на число удовлетворяют условиям существования линейного пространства. Часто элементы абстрактных линейных пространств называют векторами, а само пространство векторным. Так, линейные пространства могут быть образованы не только лишь арифметическими векторами - эти пространства могут быть построены из объектов самой различной природы, что отличает математику от других наук.