Глава 1. Основные понятия
Алгебра логики - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание - это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Так, например, предложение «8 - четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Париж - столица Германии» тоже высказывание, так как оно ложное.
Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения «ученик десятого класса» и «математика - интересный предмет». Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет». Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.
Речевая практика привела к установлению некоторых требований, предъявляемых к высказываниям. Они были сформулированы еще Аристотелем и известны теперь как основные законы формальной логики.
1. Закон тождества: каждый из предметов, о которых идет речь, все время должен оставаться самим собой. Это требование совершенно необходимо, так как в противном случае изменчивость предмета привела бы к тому, что уже в ходе самого рассуждения истинные высказывания становились бы ложными, вследствие чего из этих высказываний нельзя было бы извлечь никакой надежной информации.
2. Закон противоречия: одно и то же нельзя одновременно и утверждать, и отрицать. Это требование тоже совершенно необходимо. В самом деле: если в высказывании что-то одновременно и утверждается, и отрицается, то это высказывание по существу никакой информации не несет.
3. Закон исключенного третьего: каждое высказывание непременно должно быть либо истинным, либо ложным. Это требование основано на убеждении, что относительно любого осмысленного высказывания всегда может быть установлено, истинно оно или ложно. А значит, что третьего не дано.
Предложения типа «в городе A более миллиона жителей», «у него зеленые глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.
Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание «площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн км2» в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой - истинным. Ложным - так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным - если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если ..., то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний «Петров - врач», «Петров - шахматист» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание «Петров - врач и шахматист», понимаемое как «Петров - врач, хорошо играющий в шахматы».
При помощи связки «или» из этих же высказываний можно получить составное высказывание «Петров - врач или шахматист», понимаемое в алгебре логики как «Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно».
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание «Петров - врач», а через В - высказывание «Петров - шахматист». Тогда составное высказывание «Петров - и врач, и шахматист» можно кратко записать как А и В. Здесь «и» - логическая связка, А, В - логические переменные, которые могут принимать только два значения - «истина» или «ложь», будем обозначать их соответственно «1» и «0».
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями (булева функция) и имеет свое название и обозначение.
- Введение
- Глава 1. Основные понятия
- 1. Операции над логическими высказываниями
- Булевы функции
- Выражение одних булевых функций через другие
- 2. Пропозициональные формулы
- 3. Некоторые законы логики высказываний
- Глава 2. Применение аппарата алгебры логики к решению содержательных задач
- 1. Перевод выражений естественного языка на символический язык алгебры логики
- 2. Примеры перевода высказываний естественного языка на язык алгебры логики
- 3. Простейшие задачи
- 4. Парадоксы
- Заключение
- Основы алгебры логики
- 57. Алгебра логики. Основные законы алгебры логики. Применение алгебры логики в информатике.
- Тема 10.Применение аппарата алгебры логики к решению содержательных задач.
- Что такое алгебра логики?
- Алгебра логики. История логики
- 5.1. Аппарат алгебры логики
- 24.3 Функции алгебры логики
- 4.1. Основы алгебры логики
- Определение алгебры логики. Области применения