§3.1 Комбинаторика и бином Ньютона
1. Комбинаторика
1. Число перестановок из n элементов равно произведению n последовательных натуральных чисел от 1 до n.
Число перестановок обозначается так:
или n! (эн-факториал) и вычисляется по формуле:
n! =. (1.1)
2. Число размещений (без повторений) из n элементов по к
равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n:
, (1.2)
или . (1.3)
3. Число сочетаний из n элементов по к ( ) определяется по формуле:
(1.4)
или (1.5)
Из формулы (1.5) следует . (1.6)
4. Размещения с повторениями
Пусть из множества Х, состоящего из n элементов, надо составить строку из к элементов, причем каждый элемент в строке может быть любым элементом из х, т.е. в строке элементы могут повторяться.
Общее число всех таких строк есть число размещений из n по k с повторениями: А( n, k ) = nk . (1.7)
В рассмотренном случае каждый элемент строки может принимать n значений. Если в строке элемент может принимать значений, элемент может принимать значений, то количество всех таких строк определяют по формуле:
. (1.8)
5. Размещения данного состава
Размещением данного состава из элементов
множества называется всякая строка длиной , составленная из элементов множества X так, что элемент повторяется раз, элемент повторяется раз , ..., элемент повторяется раз .
Например, если то есть
один из вариантов состава
Число различных размещений состава определяется по формуле:
. (1.9)
2. Бином Ньютона
Формула бинома Ньютона позволяет любой двучлен (бином) возвести в натуральную степень. Эта формула имеет вид:
(1.10)
или сокращенно
В разложении бинома n + 1 членов. Так как , то
коэффициенты членов разложения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой. При получаем формулу для суммы биномиальных коэффициентов:
(1.11)
Обобщением формулы бинома Ньютона является
полиномиальная формула:
(1.12)
где и суммирование ведется по всем наборам .
В частности:
Итак,
. (1.13)
3. Формула разложения разности n-ых степеней
(1.14)
4. Метод математической индукции
Для вывода обобщающих формул, как правило, используют метод математической индукции.
Схема-алгоритм метода математической индукции:
1. Проверить справедливость доказываемой формулы для начального значения n (это может быть 0 , 1 , 2 , . . . ) .
2. Предположить, что формула справедлива при
3. Доказать, что формула справедлива и при
5. Формула Тейлора
Формула Тейлора позволяет данную функцию y = f (x) представить в виде многочлена со счетным числом слагаемых по степеням x:
(1.15)
Формулы Тейлора для некоторых функций.
Следует помнить, что применять формулы (1.15), (1.16) или 1-6 можно для функции только в случае, если при .
Упражнения к § 3.1
Комбинаторика
3.1 Вычислить:
3.2 Решить уравнения и неравенства:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
3.3 Доказать:
1) ,
2)
3) 4)
3.4 Сколько пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из пяти цифр:0,1,2,3,4?
3.5 Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр1,2,3,4,5, если цифры в числе:
а) могут повторяться, б) не повторяются?
3.6 В ящике имеется 7 красных и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика 3 красных и 2 черных шара?
3.7 В вазе 10 красных и 6 белых гвоздик. Сколькими способами можно составить букет из 4-х гвоздик так, чтобы число красных гвоздик в букете было не меньше белых?
3.8 Из 10 различных цветков составляется букет, содержащий не менее трех цветков. Сколькими способами это можно сделать?
3.9 В 12-ти этажном доме на первом этаже в лифт садится 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они это могут сделать, если на 2-м этаже лифт не останавливается?
Бином Ньютона
3.10 Разложить по формуле бинома Ньютона:
а) б) , в) , г) .
3.11 Решить уравнения:
1) , 2) ,
3) , 4)
Разложение двучлена на множители
3.12. 1) Сократить дробь и вычислить при х=1,
2) сократить дробь и вычислить при a=b.
Метод математической индукции
3.13 Доказать тождества:
,
,
,
,
3.14 Доказать неравенства:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.15 Доказать делимость:
1)
2)
3)
3.16 Известно, что целое число. Доказать, что
также целое число.
3.17 Доказать, что выражение , где простое число, делится на р (малая теорема Ферма).
Формула Тейлора
3.18 Разложить по степеням х по формуле Тейлора функции:
1) 2) .
3.19 Вычислить приближенно:
1) с точностью 0,0001,
2) с точностью 0,001, 3)с точностью 0,001.