2. ПРИМЕРЫ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ

Приведём примеры аксиоматических теорий возникших разными путями.

Пример1. Теория групп - одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общими чертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую из операций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, что все три указанные объекта обладают следующими свойствами:

G0. Для любых а и в из G композиция а в есть однозначно определённый элемент из G.

G1. Для любых а и в и с из G (а в) с = а (в с).

G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а из G а е = е а = а.

G3. Для любого а из G имеется такой а из G, что а а = а а = е.

Например, элемент е, существование которого утверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение М на М, в случае Z - целое число 0, в случае V2 - нуль вектор. В свойстве G3 элемент а есть обратное преобразование f^-1, противоположное число -m, противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВ соответственно. Утверждения G0 - G3 и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.

Теорема 1. В группе имеется точно один единичный элемент.

Доказательство: Ввиду G2 нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в G имеется два единичных элемента -е1 и е2, т.е. на основании G2, для любого ае1=а и ае2= а. Тогда, в частности, е1* е2= е2 и е1* е2= е1. Следовательно, в силу G0 и свойств равенства е1= е2.

Теорема 2. Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.

Доказательство: Ввиду G3 остаётся доказать лишь его единственность. Допустим, что в G для элемента а имеется два обратных а и а, т.е. таких элементов, что а а = е и а а = е. Тогда, в силу G1 (а а) а = а и, следовательно, е а = а е. Отсюда следует, согласно G2, что а = а.

В мультипликативной терминологии обратный элемент для а обозначается через а^-1, так что а^-1 а = а а^-1= е, где единственный единичный элемент из G.

Теорема 3. Для любых элементов а, в, с, группы G из а * в = а * с следует в = с, и из в * а = с * а следует в = с.

Доказательство: Пусть а * в = а * с. Тогда а^-1 * (а * в)=( а^-1 * а) * в = е * в = в. С другой стороны, а^-1 * (а * в)= а^-1 * (а * с) = (а^-1 * а) * с = е * с = с. следовательно, в = с. Пусть в * а = с * а. Тогда (в * а) * а^-1= в * (а * а^-1) = в * е = в. С другой стороны (с * а) * а^-1= с * (а * а^-1) = с * е = в. Значит в = с.

Пример 2. Теория конгруэнтности (равенства) отрезков. S множество всех отрезков и отношение, называемое отношением конгруэнтности, так, что выражение х у читается так: отрезок х конгруэнтен отрезку у. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения:

К1. Для всякого х из S х х.

К2. Для любых элементов х, у, z из S, если х z и у z, то х у.

Докажем теорему.

Теорема 1. Для любых элементов у и z из S, если у z, то z у.

Доказательство: По аксиоме К2, подставив z вместо х, получим, что если z z и у z, то z у. Поскольку член конъюнкции z z истинен на основании аксиомы К1, то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если у z, то z у.

Пример 3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж. Пеано на рубеже XIX и XX веков. Её первоначальными понятиями являются: непустое множество N, бинарное отношение и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:

(Р1) ( х) (х 1).

(Р2) ( х, у) (х = у х = у)

(Р3) ( х, у) (х = у х = у)

(Р4) (Аксиома индукции) (1М ^ ( х)(хМ хМ)) М=N.

Правилами вывода служат обычные логические правила Modus Ponens и правило подстановки.

Приведём доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.

Теорема 1. ( х) (х х)

Доказательство: Рассмотрим множество. М = {х N: х х }. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), что М = N.

А) 1М, так как 1 1 по аксиоме Р1.

Б) Пусть хМ, т.е. х х. Тогда, по аксиоме Р3, (х) х. Следовательно, по определению, х М.

Условия аксиомы Р4 выполнены. Тогда, по аксиоме Р4, М = N. Это и означает, что ( х) (х х).

Пример 4. Аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом. Всего рассмотрим три системы аксиом.

Первоначальными понятиями теории Т, являются бинарные операции , (пересечение и объединение), унарная операция (дополнение), нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два различных элемента - нулевой и единичный. Система аксиом 1 этой теории симметрична относительно операций , , 0, 1.

(А1) х у = у х.

(А2) х у = у х.

(А3) х (у z) = (х у) (х z).

(А4) х (у z) = (х у) (х z).

(А5) х 1 = х.

(А6) х 0 = х.

(А7) х х = 0.

(А8) х х = 1.

Первоначальными понятиями второй теории Т2 являются бинарная операция и унарная операция .

Система аксиом 2 этой теории, наоборот, ассиметрична, «смещена» в сторону операции .

(В1) х у = у х.

(В2) (х у) z = х (у z).

(В3) х у = z z х у = х.

(В4) х у = х х у = z z.

Наконец, в третий теории Т3 , в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение С, бинарные операции и , унарная операция и нульарные операции 0 и 1, система аксиом 3 следующая:

(С1) х х.

(С2) х у ^ у z = х z.

(С3) х у z х z ^ у z.

(С4) z х у z х ^ z у.

(С5) х (у z) (х у) (х z).

(С6) х 1.

(С7) 0 х.

(С8) 1 х х.

(С9) х х 0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведённого курсового исследования по теме «Аксиоматический метод» можно сделать следующие выводы.

Аксиоматический метод - фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях - сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. У истоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон, Аристотель, Евклид.

Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщённые направления исследования, всё-таки математика - это единая наука. Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод - аксиоматический метод. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пединститутов. - М., «Просвещение» 1975.

2. Игошин В.И. Основания геометрии - Саратов, «Научная книга», 2004.

3. Игошин В.И. Векторная алгебра - Саратов, «Научная книга», 2005.

4. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории - М., «Просвещение», 1968.

5. Метод аксиоматический - В кн. «Философская энциклопедия», т. 3 - М Сов. Энциклопедия, 1964.