Введение
В курсе «Высшей математики» тема «Теорема Гульдина и ее применение» не рассматривается, хотя имеет большое значение для математического анализа, а также физики, техники и механики, так как возникает необходимость применения неопределенного интеграла.
Использование интеграла вместо обыкновенной суммы весьма существенно. Сумма давала бы лишь приближенное выражение, ибо на ней отразились бы погрешности отдельных равенств; предельный же переход, с помощью которого из суммы получается интеграл, уничтожает погрешность и приводит к совершенно точному результату.
Теорему Гульдина применяют для нахождения статических моментов и центров тяжести не только кривой, но и плоской фигуры, - что немаловажно для выше перечисленных наук.
Важность данной темы можно показать, перечислив только задачи, решаемые с помощью теоремы:
1. Найти статический момент обвода эллипса x2/a2 + у2/b2 = 1 относительно оси x (предполагая а > b).
2. Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.
3. В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца (тора), т.е. тела образованного вращением круга около оси, не пересекающей его.
4. Найти статические моменты Мх, Му и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой у2 =2рх, осью х и ординатой, соответствующей абсциссе х.
5.Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо лежит на этой оси.
В нашей работе эти задачи будут решены.
Данная курсовая работа основана на материале учебного пособия для высших учебных заведений «Курс дифференциального и интегрального исчисления II том». Этот том посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной и теории рядов. Исключительно подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др.
Являясь одним из лучших систематических учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, данная книга будет полезна как учащимся, так и преподавателям.