III. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру АА?В?В (рис. 4), ограниченную сверху кривой АВ, которая задана явным уравнением y = f(x). Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что поверхностная плотность их ? (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Без существенного умаления общности можно тогда принять, что ? = 1, т.е., что масса любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Рис.4

Желая определить статические моменты Мх, Му этой фигуры относительно осей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (рис. 4). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, мы видим, что масса ее (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет ydx. Для определения соответствующих элементарных моментов dМx, dМy предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси х на расстоянии 0,5у, от оси y - на расстоянии (х + 0,5dx); последнее выражение можно заменить просто через х, ибо отброшенная величина 0,5dx, умноженная на массу ydx, дала бы бесконечно малую высшего порядка. Итак, имеем

, .

Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам

, , (4)

причем под у разумеется функция f(x), фигурирующая в уравнении кривой АВ.

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты ?, ? центра тяжести фигуры. Если через Р обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

, ,

откуда

, (5)

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты ? центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем

.

Правая часть этого равенства выражает объем V тела, полученного от вращения плоской фигуры АА/ВВ/ около оси х, левая же часть выражает произведение площади этой фигуры Р на 2?? ? длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина.