Локальная форма закона сохранения импульса

Аналогично законам сохранения массы и энергии можно получить локальную (для отдельной точки пространства) форму закона сохранения импульса. Отличие будет заключаться лишь в векторной природе переносимой субстанции - импульса единичного объема

(66)

где - ускорение, приобретаемое системой за счет действия массовых сил

Т.е. для единичного объема:

Разделив тензор потока импульса на конвективную часть и тензор вязких напряжений можно представить общий вид уравнения движения с использованием субстанциональной производной

(67)

Допустив постоянство коэффициентов молекулярной вязкости получим для ламинарного движения уравнение Навье-Стокса

, (68)

где (69)

Поскольку уравнение (68) является векторным, то может быть представлено в виде трех уравнений для всех координат. Можно поделить на плотность каждый из членов уравнения (68), тогда

(70)

Рассмотрим частные случаи уравнения Навье-Стокса. Для идеальной среды, движущейся без трения, =0, оно переходит в уравнение движения Эйлера

(71)

а для покоящейся среды в уравнение равновесия Эйлера

(72)

Решая уравнение движения совместно с уравнением неразрывности и условиями однозначности, можно получить поля давлений, скоростей и потоков импульса в аппарате. К сожалению, система уравнений (67) или (68) не имеет общего аналитического решения. Получены решения лишь для частных простейших случаев. Кроме того возможно численное решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных с использованием компьютеров. Однако это требует больших затрат машинного времени и затрудняет теоретический подход к проектированию аппаратов.