Реферат:
Евклидова и неевклидова геометрия
Выполнил:
студент 1-ого курса
группа 4А21 ИФВТ
Асеев Александр
Томск 2012
Евклидовая и неевклидовая геометрия
Постулаты Евклида
Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию.
“Начала” состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.
Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,
Точка есть то, что не имеет частей.
Линия есть длины без ширины
Границы линии суть точки.
Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.
Постулаты
Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
И чтобы все прямые углы были равны.
И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы
Равные порознь третьему равны между собой.
Если к ним прибавим равные, то получим равные.
Если от равных отнимем равные, то получим равные.
Если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
Если удвоим равные, то получим равные.
Половины равных равны между собой.
Совмещающиеся равны.
Целое больше части.
Две прямые не могут заключать пространства.
Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.