Модель Клейна

Модель Клейна – это модель геометрии Лобачевского. Ота была предложена Бельтрами, наряду с моделью Пуaнкаре и моделью псевдосферы. С её помощью возможно доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

Плоскость Лобачевского представлена в этой модели внутренностью некоторого круга («Абсолюта»). Точки Абсолюта, называемые также «идеальными точками», плоскости Лобачевского уже не принадлежат. Прямая плоскости Лобачевского — это хорда Абсолюта, соединяющая две идеальные точки.

Движениями геометрии Лобачевского в модели Клейна объявляются проективные преобразования плоскости, переводящие абсолют в себя. Конгруэнтными считаются фигуры внутри абсолюта, переводимые друг в друга такими движениями. Если точки и лежат на хорде так, что порядок их следования на прямой PABQ, тогда расстояние в плоскости Лобачевского определяется как

где  обозначает [[двойное отношение], R - радиус кривизны плоскости Лобачевского.

Любой факт евклидовой геометрии, описанный на таком языке, представляет некоторый факт геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение неевклидовой геометрии Лобачевского на плоскости есть ничто иное, как утверждение евклидовой геометрии на плоскости, относящееся к фигурам внутри круга, пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде a, проходит сколько угодно не пересекающих её хорд.