41. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке.

Пусть имеется генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение x признака X этого объекта. Мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание, X – как случайную величину, а x – как одно из возможных значений X.

Определение. Генеральной средней (или a) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то .

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

или (1)

Пусть все значения различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью , то

, т.е. (2)

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают .

Определение. Выборочной средней (или a) называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки по объема n различны, то .

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

или (3)

Разумеется, выборочная средняя для различных выборок того же объема n из той же генеральной совокупности будет получаться различной. Всевозможные могущие получиться выборочные средние есть возможные значения случайной величины , которая называется выборочной средней случайной величиной.

Можно показать, что , а .

Для практических целей используют формулу (4)

Константу C (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы, во-первых, разности были небольшими и, во-вторых, число C было по возможности «круглым».

Генеральная и выборочная дисперсия.

Определение. Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генераль. совокупности от генераль. средней .

Если все значения признака генераль. совокупности объема N различны, то

(5)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

(6)

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется .

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают , поэтому можно записать , .

Величину называют средней квадратической ошибкой.

Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочной средней .

(7) – для различных значений признака выборки.

(8) – при наличии у признака выборки частот.

Выборочную дисперсию, рассматриваемую нами как случайную величину, будем обозначать (9).

Теорема. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно , т.е. (10).

Для практических целей (когда - большие числа) формулы (7) и (8) преобразуют к следующему виду:

(11) , где C – ложный нуль.

Определение. Доверительным интервалом называют найденный по данным выборки интервал , который показывает параметр с заданной надежностью .

Надежность обычно принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,999.

При известном очень часто на практике применяется формула при заданной надежности.

, или , .

Найдя из последнего равенства , можно написать .