Лекция 5 Циклические группы

Пусть g – произвольный элемент группы G. Тогда, принимая , мы получим минимальную подгруппу, порожденную одним элементом.

Определение. Минимальная подгруппа , порожденная одним элементом g группы G, называетсяциклической подгруппой группы G.

Определение. Если вся группа G порождена одним элементом, т.е. , то она называетсяциклической группой.

Пусть элемент мультипликативной группы G, тогда минимальная подгруппа, порожденная этим элементом, состоит из элементов вида

Рассмотрим степени элемента , т.е. элементы

.

Имеются две возможности:

1. Все степени элемента g различны, т.е. , то в этом случае говорят, что элемент g имеет бесконечный порядок.

2. Имеются совпадения степеней, т.е. , но.

В этом случае элемент g имеет конечный порядок.

Действительно, пусть, например, и, тогда,, т.е. существуют положительные степениэлемента, равные единичному элементу.

Пусть d – наименьший положительный показатель степени элемента , для которого. Тогда говорят, что элементимеет конечный порядок равный d.

Вывод. В любой группе G конечного порядка () все элементы будут конечного порядка.

Пусть g элемент мультипликативной группы G, тогда мультипликативная подгруппа состоит из всех различных степеней элемента g. Следовательно, число элементов в подгруппесовпадает с порядком элемента т. е.

число элементов в группе равно порядку элемента ,

.

С другой стороны, имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Порядок любого элементаравен порядку минимальной подгруппы, порожденной этим элементом.

Доказательство. 1.Если – элемент конечного порядка , то

,

и если .

2. Если – элемент бесконечного порядка, то доказывать нечего.

Если элемент имеет порядок, то, по определению, все элементы

различны и любая степень совпадает с одним из этих элементов.

Действительно, пусть показатель степени , т.е.– произвольное целое число и пусть. Тогда числоможно представить в виде, где,. Тогда, используя свойства степени элемента g, получаем

.

В частности, если .

Пример. Пусть – аддитивнаяабелева группа целых чисел. Группа G совпадает с минимальной подгруппой порожденной одним из элементов 1 или –1:

и

,

следовательно, – бесконечная циклическая группа.