2.7 Симметрическая группа
Пусть X – конечное множество из n элементов, т.е. . Поскольку мы договорились не говорить, что из себя представляют элементы множества X, то пусть.
Рассмотрим биективное отображение множества X в X. Обозначим– множество всех биективных отображений X в X.
Покажем, что – группа. Она называется симметрической группой или группой перестановок.
Определение. Биективное отображение конечного множества Х в Х называется перестановкой (подстановкой).
Чтобы задать перестановку необходимо:
задать конечное множества X, которое будет называться областью определения перестановки ;
задать алгоритм перестановки, т.е. для каждого элемента i из области определения перестановки необходимо указать тот элемент , в который он переходит под действием перестановки, причем так, чтобы различные элементы при перестановке переходили в различные.
Обычно перестановка изображается в виде следующей таблицы
, (2.25)
состоящей из области определения перестановки (прообразов) – верхняя строка, и области значений (образов)перестановки – нижняя строка, или
, (2.26)
где – переставленные соответствующим образом символы. Еслиn – фиксировано, то часто в записи перестановки используется только последняя строка, которая однозначно определяет перестановку.
Пример. Для обозначения перестановок используются символы ,,,... . Пусть , тогда перестановкупредставим в виде:
.
Замечание. Сама перестановка не зависит от того, в какой последовательности выписаны пары, т.е.
.
Определение. Две подстановки называются равными, если их области определения совпадают, и каждый элемент их общей области определения они переводят в один и тот же элемент области значений.
Определение. Перестановка e называется единичной, если под действием ее все элементы множества переходят сами в себя.
.
Операции на перестановках. На множестве всех перестановок можно задать операцию, называемую умножением такую, что. Эту операцию определим в соответствии с общим правилом композиции отображений:
Пример. Пусть
, тогда
Вывод: т.е. операция умножения перестановок не коммутативна.
Замечание. Ассоциативность операции умножения перестановок выполняется – это означает, что если .
Определение. Перестановка называется обратной к перестановке, если .
Определим алгоритм получения обратной перестановки.
. (2.27)
Таким образом, для получения обратной перестановки достаточно заменить местами области определения и области значения, т.е. поменять строки в перестановке.
Пример. Найдем перестановку – обратную к перестановке:
.
Очевидно, что в данном случае , следовательно, обратная перестановка получена правильно.
Порядок группы Sn. Пусть . Перестановкой– первый элемент можно перевести в любой другой элемент и для этого существует ровно n различных возможностей. Но, зафиксировав, второй элемент перестановкоймы можем перевести в любой изn–1 оставшихся. Общее число выборов иравно , для –, а дляостается только один свободный элемент, следовательно, количество различных перестановок, а, следовательно, и количество элементов в группе, равно.