[Править]Свойства евклидовых колец

• В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).

  • Пусть I — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент f с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если g — произвольный элемент идеала I, представим его в виде g = fq + r с d(r)<d(f). Тогда r - тоже элемент идеала I и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у f. Следовательно, идеал I содержится в идеале (f). С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент f, содержит идеал (f). Значит, I = (f) - главный идеал.

• Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность - общее свойство всех колец главных идеалов.

• Каждое евклидово кольцо R целозамкнуто, то есть если дробь  , является корнем многочлена   со старшим коэффициентом, равным 1, тогда a делится на b. Целозамкнутость - общее свойство всех факториальных колец.