3. Решение систем уравнений

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

- задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений (MathCAD решает систему с помощью итерационных методов),

- напечатать ключевое слово Given ( оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений), и ввести уравнения в любом порядке (используйте [Ctrl]= для печати символа =). Для получения ответа ввести любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у). Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида: Find(var1, var2,…) =, или определить переменную с помощью функции Find: a := Find(x) - скаляр, var := Find(var1, var2,…) – вектор, или определить другую функцию с помощью Find f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).

Сообщение об ошибке (решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда: поставленная задача может не иметь решения, или уравнение не имеет вещественных решений, или в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот, или в процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения. Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Пример 5. Решение системы уравнений с помощью функции Find

x1:= 0 x2 := 0 x3:= 0 - Начальные приближения

Given

100 ∙ x1 + 6 ∙ x2 - 2 ∙ x3 = 100

6 ∙ x1 + 200 ∙ x2 - 10 ∙ x3 = 600 - Используйте [Ctrl]= для печати

символа =

x1 + 2 ∙ x2 + 100 ∙ x3 = 500

Значительно проще получается решение системы алгебраических уравнений, если их представить в виде матричных уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n:

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

где:

 Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой я вляются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы.

Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A ≠ 0 то система (2), или эквивалентное ей матричное уравнение (3), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A ≠ 0 существует обратная матрица А^-1. Умножая обе части уравнения (3) на матрицу А^-1 получим:

Формула (5) дает решение уравнения (3) и оно единственно.

Например, для решения системы уравнений

-I1 + I2+I3 = 0

Z1 ∙ I1 + Z2 ∙ I2 = E1

-Z2 ∙ I2+ Z3 ∙ I3 = 0

Нужно сначала ввести исходные данные

Е1:=10 Z1:=100+100 j Z2:=100 -100 j Z3: = 30+40 j

Затем записать матрицы коэффициентов

Затем записать матричное решение уравнений I: = Z^-1 E1

и вызвать ответ I =

Ответ получится в виде матрицы