Приложение 2 Пример расчета переходных процессов методом переменных состояния.

Выполнить расчет переходного процесса методом переменных состояния в цепи, содержащей 3 реактивных элемента (рис. 1), если Е=10 В, L₁=0,1 Гн, L₂ = 0,2 Гн, С=10 ^-2 Ф, R₂ =R₃=10 Ом.

Решение: 1. Составим уравнения цепи по законам Кирхгофа

i₁= i₂+ i₃ ; L_{1 +} i₃R₃+u_c=E; L_{2 +} R₂i₂ - i₃R₃ - u_c= 0; i₃= .

3. Преобразуем уравнения

_{= = + - +}

_{= = - + +0}

= =

4. Подставим цифры и запишем в матричной форме

, где = ; = ; =

Учтем нулевые начальные условия

4. Используя программу MATCAD 8.0, и имеющуюся в ней функцию rkfixed (x, 0, tk, N, D) решим систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Выберем N=500 точек. Для оценки времени счета tk, найдем корни характеристического уравнения, используя функцию eiqenvals(A).

Примем tk=6/b, где b -наименьший по модулю корень.

5. Для определения искомых величин в любой точке используем запись ; ; подразумевая под ними, соответственно i₁ i₂ u_c. Например в 5-й точке вычисления ток i₁ равен =0,428 А, а в 300-й точке напряжение u_c равно u_300.3=9,67 В.

6. Для построения графиков используем величины по оси абцисс , а по оси ординат и увеличенные в 5 раз и . Все необходимые данные для расчета и построения графиков приведены на рис. 2.

Рис 2