1.5. Топологические свойства бутылки Клейна

Топологическим свойством геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:

1. Хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по во­ду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересе­кались. Сделать это не умудрился никто, но лишь срав­нительно недавно математики строго доказали, что зада­ча неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпа­ли одинаковые буквы на ее кра­ях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в друж­ном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными сло­вами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. (См. Приложение 4 – Свойства бутылки Клейна).

2. Непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

3. Ориентированность. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали (нормаль — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке) Для бутылки Клейна понятие ориентированности лучше дать «от противного». Ориентированность это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в исходное положение, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.

Выводы:

Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, мы выяснили, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами.