Лінійні рівняння першого порядку.
Означення. Лінійним рівнянням першого порядку називають рівняння вигляду
. (1.1.11)
Якщо , то рівняння називають лінійним однорідним
. (1.1.12)
Якщо ця умова не виконується, то рівняння називають лінійним неоднорідним.
Розглянемо однорідне рівняння (1.1.12). Це рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні
.
Після інтегрування одержуємо
(1.1.13)
Зробимо в неоднорідному рівнянні (1.1.11) заміну , де – нова невідома функція, а довільний частинний розв’язок рівняння (1.1.11). Одержимо
.
Оскільки – частинний розв’язок рівняння (1.1.11), то
,
Тому для знаходження функції одержуємо рівняння
.
Це є лінійне однорідне рівняння (1.1.12). Його загальний розв’язок нам вже відомий
.
Загальний розв’язок рівняння (1.1.11) має вигляд
(1.1.14)
Виходячи з формули (1.1.14), можемо сформулювати таке твердження:
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння складається з суми загального розв’язку лінійного однорідного рівняння і будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння.
Постає питання: як знайти цей частинний розв’язок ?
Метод варіації сталих.
Ідея цього методу полягає в тому, що ми шукаємо загальний розв’язок неоднорідного рівняння в такому же вигляді, як розв’язок однорідного рівняння, тільки вважаємо сталу невідомою функцією , тобто
(1.1.15)
Підставляємо функцію (1.1.15) в рівняння (1.1.11), одержуємо
,
.
Звідки знаходимо похідну невідомої функції
.
Сама функція знаходиться інтегруванням
.
Підставляючи знайдену функцію у формулу (1.1.15), одержуємо загальний розв’язок рівняння (1.1.11)
. (1.1.16)
Якщо у формулі (1.1.16) прийняти , то одержимо частинний розв’язок неоднорідного рівняння.
Метод Бернуллі.
Цей метод полягає в тому, що ми шукаємо розв’язок рівняння (1.1.11) у вигляді добутку двох невідомих функцій . Підставимо цей добуток у рівняння (1.1.11).
Виберемо функцію так, щоби вона була розв’язком рівняння
.
Це є лінійне однорідне рівняння, його загальний розв’язок
.
Оскільки нам потрібна лише одна функція, то ми можемо прийняти Отже,
.
Тоді
.
Звідки
.
Остаточно
.
Як бачимо, ця формула повністю співпадає з формулою (1.1.16).
Приклад 11.
Розв’яжемо це рівняння методом варіації сталої. Однорідне рівняння, яке відповідає цьому неоднорідному, має вигляд
Відокремлюємо змінні
.
Звідки
Шукаємо розв’язок вихідного рівняння у вигляді
.
Підставляємо цю функцію в рівняння
Одержуємо
.
Тоді
Остаточно
Приклад 12.
Розв’яжемо це рівняння методом Бернуллі. Зробимо заміну
Підставляємо в рівняння
Групуємо так:
Вираз в дужках прирівнюємо до нуля
.
Звідки
Для знаходження функції одержуємо рівняння
.
Тоді
Отже,
Рівняння Бернуллі.
Означення. Рівнянням Бернуллі називають рівняння вигляду
. (1.1.17)
Це рівняння зводиться до лінійного. Поділимо обидві частини рівняння на
.
Зробимо заміну
.
Тоді для знаходження функції одержуємо рівняння
.
Це є лінійне неоднорідне рівняння, як його розв’язувати ми вже знаємо.
Приклад 13.
.
Ділимо рівняння на .
.
Зробимо заміну
.
Одержуємо
.
Це – лінійне рівняння. Розв’яжемо його методом варіації сталої. Відповідне однорідне рівняння має вигляд
Відокремлюємо змінні
.
Звідки
.
Тоді
.
.
Оскільки , то
.
Рівняння Ріккаті.
Загальне рівняння Ріккаті має вигляд
(1.1.18)
Загалом рівняння Рік каті не інтегрується в квадратурах. Проте, якщо відомий один частковий розв’язок рівняння (1.1.18), то загальний розв’зок одержуємо двома квадратурами. Справді, нехай відомий частковий розв’язок , тобто виконується тотожня рівність
(1.1.19)
Зробимо заміну
Одержуємо
.
або, враховуючи (3.9),
.
Це є рівняння Бернуллі. Для зведення цього рівняння до лінійного, треба покласти . Для знаходження маємо рівняння
Загальний розв’язок цього лінійного рівняння має вигляд
Звідки одержуємо загальний розв’язок рівняння Ріккаті
.
Отож, загальний розв’язок рівняння Ріккаті є дробово-лінійною функцією стосовно довільної сталої.
Приклад 14.
Це рівняння має частковий розв’язок . Робимо заміну Одержуємо
.
Покладемо
Тоді
Застосуємо метод варіації сталої
Тоді
Остаточно
- Розділ 1. Рівняння першого порядку
- 1.1. Рівняння першого порядку, розв’язані стосовно похідної
- 1. Рівняння з відокремлюваними змінними
- Однорідні рівняння і ті, що зводяться до них
- Лінійні рівняння першого порядку.
- Рівняння в повних диференціалах
- Теорема Коші
- 1.2. Рівняння першого порядку, не розв’язані стосовно похідної