Рівняння в повних диференціалах

Означення. Рівняння

(1.1.20)

називають рівнянням в повних диференціалах, якщо ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції двох змінних. Тоді це рівняння можна записати у вигляді звідки . Постає питання, як визначити, чи є задане рівняння рівнянням в повних диференціалах, і, якщо це справджується, то як знайти цю функцію

Нехай рівняння (1.1.20) є рівнянням в повних диференціалах., причому частинні похідні і неперервні. Оскільки повний диференціал функції двох змінних обчислюється за формулою

,

то виконуються рівності

(1.1.21)

Продиференціюємо першу рівність (1.1.21) по змінній , а другу по змінній .

Оскільки праві частини цих рівностей неперервні, то неперервні і ліві частини, а це означає, що

.

Тому

(1.1.22)

Ми довели, що умова (1.1.22) є необхідною умовою того, щоби рівняння (1.1.20) було рівнянням в повних диференціалах.

Доведемо, що ця умова є достатньою. Треба знайти функцію , яка задовольняє умови (1.1.21).

Покладемо

про інтегруємо цю рівність по змінній . Тоді

(1.1.23)

де довільна диференційована функція. Виберемо її так, щоби виконувалася друга рівність (1.1.21). Продиференціюємо рівність (1.1.23) по змінній .

Враховуючи умову (1.1.22), одержимо

.

Друга рівність (1.1.21) буде виконуватися, якщо покласти

.

Звідки

.

Тоді формула (1.1.23) запишеться у вигляді

Тому загальний інтеграл рівняння (1.1.20) має вигляд

.

Нижні межі інтегрування можна вибирати довільно, але так, щоби інтеграли мали сенс.

Приклад 15.

.

Тут

Умова (1.1.22) виконується, тому задане рівняння є рівнянням в повних диференціалах. Треба знайти функцію , яка задовольняє рівності

,

.

Диференціюємо по змінній .

.

.

Отож

.

Загальний інтеграл заданого рівняння має вигляд

.

Інтегруючий множник

Означення. Інтегруючим множником називають функцію , після домноження на яку рівняння

стає рівнянням в повних диференціалах., тобто

.

Застосовуючи ознаку (1.1.22) до рівняння

,

одержуємо

,

. (1.1.24)

Це – рівняння в частинних похідних першого порядку стосовно невідомої функції . Загалом задача інтегрування рівняння (1.1.24) не легша, ніж задача інтегрування рівняння (1.1.24). Ми можемо знайти інтегруючий множник тільки у деяких випадках.

Розглянемо випадок, коли інтегруючий множник залежить тільки від . Нехай . Тоді , так що рівняння (1.1.24) приймає вигляд

,

або

.

Отже, для того, щоби існував інтегруючий множник залежний тільки від , необхідно і достатно, щоби виконувалася умова

. (1.1.25)

Якщо ця умова виконана, то ми маємо

.

Тоді функція

є інтегруючим множником рівняння (1.1.20).

Для прикладу розглянемо лінійне рівняння

.

Перепишемо це рівняння в диференціальній формі

.

Перевіримо виконання умови (1.1.25).

.

Отже, функція

є інтегруючим множником лінійного рівняння.

Розглянемо тепер випадок, коли інтегруючий множник залежить тільки від . Нехай . Тоді рівняння (1.1.24) приймає вигляд

,

або

.

Звідси одержуємо, що існує інтегруючий множник, який залежить тільки від , якщо виконується умова

. (1.1.26)

Тоді інтегруючий множник має вигляд

.

Розглянемо більш загальний випадок, коли інтегруючий множник залежить від функції , тобто .У цьому випадку рівняння (1.1.24) можна записати так:

,

або

.

Якщо виконується умова

,

то існує інтегруючий множник, який залежить від . Він має вигляд

.

Приклад 16.

.

Умова повного диференціалу не виконується, тому будемо шукати інтегруючий множник. Рівняння (1.1.24) приймає вигляд

,

або

.

Якщо покласти , то . Одержуємо рівняння

.

Інтегруючий множник .

Множимо задане рівняння на цей інтегруючий множник

.

Перевіряємо умову повного диференціалу

.

Умова виконується. Тому

.

Шукаємо функцію .

.

Звідси

.

, .

Загальний інтеграл вихідного рівняння має вигляд

.

Приклад 17.

.

Рівняння (1.1.24) має вигляд

,

або

.

Покладемо . Тоді . Одержуємо рівняння

,

або

.

Звідси знаходимо

.

Помножимо рівняння на цей множник

.

Умова повного диференціалу виконується. Тому

.

.

.

.

Загальний інтеграл вихідного рівняння має вигляд

.

Приклад 18.

.

Нехай . Тоді

.

.

.

Покладемо . Тоді .

,

тобто

.

Звідси

.

Помножимо рівняння на цей інтегруючий множник

.

Умова повного диференціалу виконується. Тому

.

,

.

.

Загальний інтеграл заданого рівняння має вигляд

.