Т е м а 1. Приведение уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду.
Общий вид уравнений с частными производными второго порядка можно записать в виде соотношений между независимыми переменными, искомой функцией и ее частными производными первого и второго порядков:
.
Очень часто эти уравнения являются линейными относительно старших производных – производных второго порядка, то есть, имеют вид:
где коэффициенты при старших производных являются функциями только независимых переменных . Если коэффициенты зависят не только от , а являются, подобно F, функциями , то такое уравнение называется квазилинейным. Если функция линейна относительно аргументов , то уравнение называется линейным. Линейные уравнения имеют вид:
, (1)
где коэффициенты , c являются функциями только независимых переменных . Если , то уравнение (1) называется линейным однородным, в противном случае - неоднородным. Если коэффициенты , c постоянны, уравнение (1) называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
Все многообразие уравнений линейных относительно старших производных может быть разделено на три класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называют каноническими. Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют много общих свойств.
Принадлежность уравнения к тому или иному классу (типу) – классификация уравнений – определяется коэффициентами при старших производных. Мы проведем классификацию прежде всего для уравнений, в которых искомая функция u зависит лишь от двух переменных : u = u(x,y). В этом случае уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в виде:
, (2)
где являются функциями x и y. А линейные уравнения – в виде:
, (3)
где , - функции только от x и y. Любое такое уравнение (2) и (3) с помощью замены независимых переменных может быть приведено к более простому – каноническому виду.
При помощи замены переменных
, , (4)
где , - дифференцируемые функции, преобразуем исходные уравнения к наиболее простому виду. Вычислим частные производные
, ,
, (5)
,
.
Подставляя значения производных из (5) в уравнение (2) , будем иметь
, (5а)
где
,
, (6)
.
Заметим, что если уравнение линейно, то
,
где
,
.
Непосредственной проверкой устанавливаем справедливость тождества
. (7)
Обозначим через - дискриминант исходного уравнения в частных производных второго порядка. Из этого тождества следует, что знаки дискриминанта исходного и преобразованного уравнения одинаковые.
Теперь мы можем принять следующую классификацию уравнений вида (2).
Если в некоторой области D дискриминант положителен, , то уравнение (2) называется гиперболическим в D (гиперболического типа в D).
Если во всех точках области D, то уравнение (2) называется параболическим в D (параболического типа в D).
Если в области D, то уравнение (2) называется эллиптическим в D (эллиптического типа в D).
Из тождества (7) следует, что при замене независимых переменных по формулам (4) тип уравнения (2) не изменяется.
Приведем уравнение (2) к каноническому виду. Для каждого типа уравнения существует своя каноническая форма.