Шаблон для явной схемы
Справедливо следующее эмпирическое правило: если уменьшать шаги и h, то погрешность аппроксимации частных производных конечными разностями тоже будет уменьшаться, однако, чем мельче сетка, тем больше вычислений необходимо совершить и, следовательно, тем больше будут погрешности округления.
Устойчивость решения разностных уравнений к малым изменениям начальных условий и правых частей.
Запишем в операторной форме исходное уравнение и соответствующее этому уравнения разностное уравнение
и .
Введем обозначения , .
Разностная схема называется сходящейся, при сгущении узлов сетки значение стремится к нулю. Если при этом , то говорят, что разностная схема имеет точность порядка .
Подставим в разностное уравнение вместо разность . Тогда
.
Величина называется невязкой.
Разностная схема аппроксимирует исходную задачу, если при , стремящемся к нулю, невязка также стремится к нулю. Разностная схема называется устойчивой, если малым изменениям начальных условий и правых частей будут соответствовать малые изменения решения.
Теорема. Если решение исходной задачи существует, а разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то решение разностного уравнения сходится к точному решению исходного уравнения.
Проверим устойчивость разностной схемы для уравнения теплопроводности с ненулевой правой частью
.
Начальные условия можно взять нулевые .
Выражая из разностного уравнения , получим
.
Откуда, применяя неравенство треугольника для модуля, получим следующую оценку максимума модуля
, , .
То есть, малым изменениям начальных условий и правых частей, будут соответствовать малые изменения решения. Тогда разностная схема устойчива при выполнении условия .