3.4 Энергетические характеристики сигналов с частотной области
Взаимная корреляционная функция двух сигналов связана преобразованием Фурье с взаимным спектром сигналов, поэтому ее можно выразить в виде обратного преобразования Фурье от взаимного спектра:
.
Теперь подставим в эту цепочку равенств значение временного сдвига . В результате получим соотношение, которое определяет смыслравенства Релея:
,
то есть интеграл от произведения двух сигналов равен интегралу от произведения спектров этих сигналов, один из которых подвергнут операции комплексного сопряжения.
Если считать сигналы одинаковыми x(t)=y(t), получится соотношение, позволяющее фактически по одной формуле вычислять энергию сигнала, как во временной, так и в частотной области:
.
Это соотношение называется равенством Парсеваля.
Периодические сигналы обладают бесконечной энергией, но конечной мощностью. При их рассмотрении мы уже сталкивались с возможностью вычисления мощности периодического сигнала через сумму квадратов модулей коэффициентов его комплексного спектра:
.
Это соотношение обладает полной аналогией с равенством Парсеваля.