3.3 Соотношения между корреляционными и спектральными функциями.

Как корреляционные, так и спектральные функции описывают внутреннюю структуру сигналов, их внутреннее строение. Поэтому можно ожидать, что между этими двумя способами описания сигналов существует некоторая взаимозависимость. Наличие такой связи Вы уже видели на примере периодических сигналов.

Взаимная корреляционная функция, как и любая другая функция времени, может быть подвергнута преобразованию Фурье:

.

Изменим порядок интегрирования:

Выражение в квадратных скобках можно было бы рассматривать как преобразование Фурье для сигнала y(t), но в показателе экспоненты не стоит знак минус. Это говорит о том, что внутренний интеграл дает нам выражение , комплексно сопряженное со спектральной функцией.

Но выражение не зависит от времени, поэтому его можно вынести за знак внешнего интеграла. Тогда внешний интеграл просто даст нам определение спектральной функциисигналаx(t). Окончательно имеем:

.

Это означает, что преобразование Фурье для взаимной корреляционной функции двух сигналов равно произведению их спектральных функций, одна из которых подвергнута комплексному сопряжению. Это произведение называется взаимным спектром сигналов:

.

Из полученного выражения следует важный вывод: если спектры сигналов x(t) и y(t) не перекрывают друг друга, то есть располагаются в различных диапазонах частот, то такие сигналы являются некоррелированными, независимыми друг от друга.

Если положить в приведенных формулах: x(t) = y(t), то получим выражение для преобразования Фурье автокорреляционной функции

.

Это означает, что автокорреляционная функция сигнала и квадрат модуля его спектральной функции связаны друг с другом посредством преобразования Фурье.

Функция называетсяэнергетическим спектром сигнала . Энергетический спектр показывает, как общая энергия сигнала распределяется по частотам его отдельных гармонических составляющих.