Разбиение множества на классы

Операции объединения и пресечения множеств являются основой для понятия разбиения множества на классы.

Множество Х разбито на классы X₁, X₂,..., Х_n, —, если:

1) все подмножества X₁, X₂,..., Х_n не являются пустыми (X₁, X₂,..., Х_n);

2) подмножества X₁, X₂,..., Х_nпопарно не пересекаются (X_1X₂=,X_1X₃=,X_2X₃=,…,X_1Xn=,X_2Xn=, …,X_n-1X_n=);

3) объединение подмножеств X₁, X₂,..., Х_nсовпадает с множеством X (X₁X₂...Х_n=Х).

Если не выполнено хотя бы одно из перечисленных условий, то считается что разбиение на классы не выполнено. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено второе условие разбиения множества на классы.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножестве множества натуральных чисел. Так как выделенные не являются пустыми, подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса. Вообще, если на множестве Хзадано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый - это класс объектов, обладающих этим свойством, а второй - дополнение первого класса до множестваX.Во втором классе содержатся такие объекты множестваX,которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называютдихотомической.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, такие свойства натуральных чисел, как «быть кратным З» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить два подмножества: А -подмножество чисел, кратных 3, иВ -подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

Проанализируем получившийся рисунок. Конечно, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но прямоугольник, изображающийN, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей ( на рисунке они пронумерованы). Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3;

подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств всегда приводит к разбиению множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным б» множество натуральных чисел разбивается на три класса:

I– чисел, кратных 6;

II - класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III- класс чисел, не кратных 3.

Подумайте, на какое максимальное количество классов может быть разбито множество при помощи трех, четырех и пяти свойств элементов множества?

Разбиение конечногомножества на классы часто используется при решении задач в которых речь идет о количестве элементов в некотором классе или всем множестве. При этом количество элементов в множествах А, В, С записывают как:n(А),n(В),n(С).

Справедливы следующие правила нахождения количества элементов в множествах:

• если множества не пересекаются, то количество элементов в их объединении равно сумме количеств элементов в каждом из них:

n(АВ)=n(А)+n(В), если АВ=;

• если множества пересекаются, то количество элементов в их объединении равно сумме количеств элементов в каждом из них без количества элементов их пересечения:

n(АВ)=n(А)+n(В)–n(АВ), если АВ;

• если множество А является подмножеством В, то количество элементов в дополнении множества А до множества В равно разности количества элементов множества В и количества элементов множества А:

n()=n(А)–n(В), если АВ;

Пример:В студенческой группе 15 девушек, из которых 11 получают стипендию. Какова численность студенческой группы, если 9 юношей стипендию не получают, а всего получают стипендию из группы 16 человек.

Решение:

Обозначим множество учащихся группы за А. Для элементов множества А определены два свойства: «быть девушкой» и «получать стипендию». Эти свойства выделяют два подмножества множества А:

В – множество девушек группы;

С – множество студентов группы, получающих стипендию.

По условию задачи множества В и С имеют общие элементы: СВ; ( девушки, которые получают стипендию), но ни одно из них не является подмножеством другого ( есть юноши, которые получают стипендию, есть девушки, которые стипендию не получают).

Диаграмма Эйлера– Венна будет иметь следующий вид:

В результате эти свойства разбили множество А на четыре класса: I– девушки, которые получают стипендию (СВ);

II– девушки, которые не получают стипендию (В\С);

III– юноши, которые получают стипендию (С\В);

IV– юноши, которые не получают стипендию (А\(ВС).

В соответствии с обозначениями составим краткую запись условия задачи.

Дано:n(В)=15;n(СВ)=11;n(С)=16;n(А\(ВС)=9.

Найти:n(А).

Данную задачу можно решить несколькими способами.

1 способ.n(А)=n((СВ)(А\(ВС)))=n(СВ)+n(А\(ВС))=n(С)+n(В)–n(СВ)+n(А\(ВС))= 16+15–11+9=29

2 способ.n(А)= n(I)+n(II)+n(III)+n(IV). Найдем численность каждого класса:n(I)=n(СВ)=11;

n(II)=n(В)–n(СВ)=15-11= 4;

n(III)=n(С)–n(СВ)=16-11=5;

n(IV)=n(А\(ВС)=9.

n(А)=11+4+5+9=29.

Ответ:в студенческой группе 29 человек.

Пример:В классе 25 человек, среди них 15 человек занимаются легкой атлетикой, а 16 баскетболом. Каким может быть количество человек из класса, которые занимаются а) сразу двумя видами спорта; б) хотя бы одним видом спорта?

Решение:

Обозначим множество учащихся класса за А. Для элементов множества А определены два свойства: «заниматься легкой атлетикой» и «заниматься баскетболом». Эти свойства выделяют два подмножества множества А:

В – множество учащихся класса, занимающихся легкой атлетикой;

С – множество учащихся класса, занимающихся баскетболом.

Те учащиеся, которые занимаются сразу двумя видами спорта являются пересечением множеств В и С, а те учащиеся, которые занимаются хотя бы одним видом спорта являются объединением множеств В и С.

В соответствии с обозначениями составим краткую запись условия задачи.

Дано:n(А)=25;n(В)=15;n(С)=16.

Найти:а)n(ВС); б)n(ВС).

Изобразим на диаграммах различные случаи взаимного расположения множеств В и С.

Этот случай возможен, так как

n(А)n(С)n(В). В этом случае

n(ВС)=n(В)=15; б)n(ВС)=n(С)=16.

Этот случай не возможен, так как

n(С)n(В), а на диаграмме С является подмножеством В.

Этот случай не возможен, так как

n(А)n(ВС), а должно бытьn(А)n(ВС) так, как В и С непересекающиеся подмножества множества А.

На диаграмме не обозначено множество А, однако подразумевается, что А=ВС. При этом:n(ВС)=n(В)+n(С)–n(ВС)=15+16-25=6;

б)n(ВС)=n(А)=25.

Эта диаграмма отображает тот случай, когда 6n(ВС)15; 16n(ВС)25

Ответ:Из класса сразу двумя видами спорта могут заниматься от 6 до 15 человек; хотя бы одним видом спорта от 16 до 25 человек.