3. Вычитание множеств

РазностьюмножествАиВназывается множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множествуА, но не принадлежат множествуВ.

Записывается это так: А\В. Таким образом, по определению,А\В={х хА и х В}.

Пусть даны два множества: А={2,4,6,8} иВ={5,6,7,8,9}, тогдаА\В= {2, 4}, аВ\А={5,7,9}.

Если изобразить множества при помощи кругов Эйлера, то разностью АиВявляется следующие заштрихованные области:

А \ В =

Однако, разностью ВиАявляется другие области:

В \ А =

Из диаграмм видно:

• если А=В, тоА\В=иВ\А=;

• если АВ, тоА\В=;

• если ВА, тоВ\А=;

• если АВ=, тоА\В=АиВ\А=В

Частный случай разности А\ВкогдаВявляется подмножеством множестваА(ВА) называетсядополнением множестваВдо множестваА и обозначается .

Если множеств АиВзаданы перечислением элементов, то чтобы найтиА\В,достаточно перечислить все элементы первого множества, которые не являются элементами второго множества. Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, то характеристическое свойство множестваА\Вформулируется в виде: «все такие элементы которые обладают свойством элементов множестваА, но не обладают свойством элементов множестваВ».

Например, в разность множеств А - четных натуральных чисел и множества В - нечетных натуральных чисел попадут все четные натуральные числа, то есть А\В=А. В разность множеств А - четных натуральных чисел и множества В - натуральных чисел кратных трем попадут «все четные натуральные числа, которые не кратны трем».

Как вы думаете, чему равно: А\; А\U; U\; А\А?

По аналогии с разностью двух множеств можно определить разность для трех, четырех, …, nмножеств. При этом важное значение имеет порядок выполнения операций. Например, если взятьА={1,2,3,4},В={1,4,6,8,9},С={2,4,3,8,9}, тогдаА\В\С=,А\(В\С)={ 2, 3, 4}

Пример: Изобразите на диаграмме следующие множества А–множество четных натуральных чисел, В–множество натуральных чисел кратных четырем, С–множество натуральных чисел кратных пяти, D–множество натуральных чисел кратных трем, Е–множество натуральных чисел кратных восьми. Заштрихуйте множество ((А\В)С)\(DЕ). Приведите в качестве примера 2–3 элемента, которые принадлежат этому множеству.

Решение:

• ВА, так как все натуральные числа, которые делятся на 4 делятся и на 2;

• АС, так как существуют натуральные числа, которые делятся и на 2 и на 5 одновременно;

• ВС, так как существуют натуральные числа, которые делятся и на 4 и на 5 одновременно;

• АD, так как существуют натуральные числа, которые делятся и на 2 и на 3 одновременно;

• ВD, так как существуют натуральные числа, которые делятся и на 4 и на 3 одновременно;

• СD, так как существуют натуральные числа, которые делятся и на 5 и на 3 одновременно;

• ЕА, так как все натуральные числа, которые делятся на 8 делятся и на 2;

• ЕВ, так как все натуральные числа, которые делятся на 8 делятся и на 4;

• ЕС, так как существуют натуральные числа, которые делятся и на 8 и на 5 одновременно;

• ЕD, так как существуют натуральные числа, которые делятся и на 8 и на 3 одновременно;

А\В

Как видно из диаграммы, в множество ((А\В)С)\(DЕ) входят, например, такие элементы, которые, :

• принадлежат А, но не принадлежат В (2, 6,10);

• принадлежат Е и С одновременно, но не принадлежат D (40, 80);

• принадлежат В и С одновременно (20,60);

Пример: Пусть А – множество красных яблок, В –множество фруктов в некоторой вазе. Опишите словесно условия при которых: а) АВ=; б) АВ=А; в)АВ; г)А\В.

Решение:

а)АВ= означает что множества А и В не пересекаются. На диаграмме это выглядит так:

Умножеств А и В нет ни одного общего элемента. Следовательно условие будет таким: «В вазе нет ни одного красного яблока»

б) АВ=А означает что множества А и В пересекаются и в пересечении получается множество А. На диаграмме это выглядит так:

Все элементы множества А являются элементами множества В. Следовательно условие будет таким: «Все красные яблоки лежат в вазе»

в) АВ означает что множества А и В пересекаются. В общем виде на диаграмме это выглядит так:

Найдется хотя бы один элемент, который принадлежит как множеству А, так и множеству В. Следовательно условие будет таким: «В вазе лежит хотя бы одно красное яблоко»

г)АВ означает что множества А и В пересекаются. В общем виде на диаграмме это выглядит так:

Вывод такой же как и под буквой а. «В вазе нет ни одного красного яблока»