Отношения между множествами
Изобразим на диаграммах различные случаи взаимного расположения двух множеств А и В.
Множества А и В называются пересекающимися если они имеют хотя бы один общий элемент.
Множества А и В называются непересекающимися если они не имеют ни одного общего элемента.
Например, если А = {а, в, с, d, е}, В = {в, d, k, т}, С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы в и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов. На диаграммах пересекающиеся множества изображены на рисунках 1, 2, 4 и 5.
Множество В является подмножеством множества А если каждый элемент множества В является также и элементом множества А. В этом случае иногда говорят, что множество В включается в множество А или что множество В часть множества А и записывают В А. Данный вид отношения между множествами изображен на рисунках 1 и 5.
Подумайте как можно охарактеризовать отношения между множествами, изображенные на четвертом рисунке?
Например, множества А ={ а, в, с, d, е} и В = {с, d, е} пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. Таким образом, из того что В А следует что эти множества пересекаются. Подумайте, верно ли обратное утверждение?
Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя и универсального множества. Таким образом справедливы следующие отношения:
-
А;
А U;
А А;
U U.
Как вы думаете, справедливо ли отношение ?
Для каждого конечного множества можно найти все его подмножества. Среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А, их называют несобственными подмножествами.
Рассмотрим в качестве примера множество А = {1, 2, 3} и найдем все его подмножества. Среди них будут:
два несобственных: и само А;
три одноэлементных подмножества: {1}, {2}, {3};
три двухэлементных: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, а также само
Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.
Пусть дано множество А = {а ,в, с}. Найдите все его подмножества. Сколько их? От чего зависит количество всевозможных подмножеств у некоторого множества?
Доказано, что если множество А содержит п элементов, то у него 2n различных подмножеств.
Рассмотрим теперь множества А={а, в, с, d, е} и В={с, а, d, в, е}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В А. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут А = В. Итак, множества А и В называются равными, если А В и В А.
Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов в множестве не важен.
Задача: Изобразите на диаграмме отношения между следующими множествами:
А – множество жителей города Шуи;
В – множество студентов ШГПУ;
С – множество учащихся школы №1 г.Шуя;
D– множество студентов Ивановской области;
Решение: Для построения диаграммы необходимо определить отношения между перечисленными множествами.
1 А