1.2. Линейное преобразование векторов
Вернёмся к вопросу об умножении вектора на скаляр. Согласно (1.3), равенство векторов
(1.10)
равносильно трем скалярным равенствам:
, (1.10а)
Если m - положительное число, то векторы направлены одинаково, а при отрицательном m - противоположно («параллельно» и «антипараллельно»); говорят, что такие векторы коллинеарны. Мы имеем здесь дело с частным видом линейного преобразования набора компонент в аналогичный набор ; заметим, что эти совокупности компонент, вполне определяющие векторы , мы также можем называть векторами.
В общем случае под однородным линейным преобразованием рассматриваемых векторов понимают сопоставление вектору нового вектора , компоненты которого определяются по формулам:
, (1.11)
где тхх, тху,..., тzу, тzz - некоторые числа. Векторы , компоненты которых связаны соотношениями (1.11), уже не коллинеарны; следовательно, записанное преобразование определяет не только изменение абсолютного значения («растяжение» или «сжатие») вектора, но и некоторый его поворот.
Остановимся на формальном описании преобразования (1.11). С точки зрения линейной алгебры, таблица чисел
(1.12)
образует матрицу, а равенства (1.11) выражают операцию умножения матрицы на вектор-столбец (), приводящую к вектору-столбцу (Вх, Ву, Bz). В частности, в (1.10а) мы имеем случай, когда |, где
(1.13)
так называемая единичная матрица.
Вместо символа матрицы введём иной символ и запишем равенства (1.11) в следующей сокращённой форме:
(1.14)
Умножение на здесь понимается как выполнение операций над компонентами вектора , содержащимися в. (1.11). Соотношение (1.14) есть обобщение равенства векторной алгебры (1.10), в котором роль множителя вместо скаляpa m играет объект более сложного характера , называемый тензором. В частности, единичной матрице I соответствует также обозначаемый единичный тензор I.
Тензор выступает как оператор, который, действуя на вектор , преобразует его в другой вектор .