1. Векторы и действия над ними

Любой вектор можно представить как где - единичный вектор (орт), а A - абсолютное значение вектора . Орты, соответствующие направлениям осей декартовой системы координат, будем обозначать . Таким образом, в проекциях на эти оси вектор имеет следующий вид:

. (1.1)

Проекции вектора на оси координат называются также его компонентами, или составляющими вектора.

Сложение в векторной алгебре понимается как алгебраическое сложение компонент векторов:

. (1.2)

Умножение вектора на число (скаляр) m есть получение вектора

(1.3)

с новым абсолютным значением |m|A.

Скалярное произведение векторов обозначается и определяется следующим образом:

, (1.4)

где - угол между направлениями векторов. В результате скалярного произведения векторов образуется число. Как видно из (1.4), значение скалярного произведения может быть равным нулю при равных нулю исходных векторах (т.е. векторах с нулевыми значениями A и B), либо при нулевых значениях . В последнем случае эти векторы называются ортогональными: они направлены под прямым углом друг к другу.

Векторное произведение векторов , обозначаемое есть

, (1.5)

где - единичный вектор, направленный по нормали к плоскости векторов , причем так, что образуют «правую тройку» векторов: если смотреть вдоль , то кратчайшее угловое расстояние между векторами А и В, обозначенное φ, будет соответствовать движению от по часовой стрелке. Удобно записывать векторное произведение в форме следующего определителя:

(1.5a)

раскрытие которого приводит к указанному результату. Векторное произведение некоммутативно, т.е. сомножители нельзя переставлять местами, имея в виду сохранение результата. А именно:

. (1.6)

Под векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов понимается скаляр ; при этом

, (1.7).

т. е. важен циклический порядок следования перемножаемых векторов , при сохранении которого безразлично, какие два вектора из трёх образуют векторное произведение. На основании (1.4) и (1.5) легко установить, что

(1.8)

Далее, запишем формулу двойного векторного произведения:

(1.9)