1.1. Топология

Топология - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщённых геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре. Топологией также называется конкретный объект, изучаемый общей топологией: совокупность всех открытых множеств топологического пространства. Топология объекта — его геометрическая структура (то, что не меняется при непрерывных деформациях).

Знание того, что такое топология поможет в дальнейшем изучении бутылки Клейна.

1.2. Что такое бутылка Клейна

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). (См. Приложение 1 - «Бутылка Клейна»).

1.3. История изобретения бутылки Клейна

Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).