Шаблон для явной схемы

Справедливо следующее эмпирическое правило: если уменьшать шаги и h, то погрешность аппроксимации частных производных конечными разностями тоже будет уменьшаться, однако, чем мельче сетка, тем больше вычислений необходимо совершить и, следовательно, тем больше будут погрешности округления.

Устойчивость решения разностных уравнений к малым изменениям начальных условий и правых частей.

Запишем в операторной форме исходное уравнение и соответствующее этому уравнения разностное уравнение

и .

Введем обозначения , .

Разностная схема называется сходящейся, при сгущении узлов сетки значение стремится к нулю. Если при этом , то говорят, что разностная схема имеет точность порядка .

Подставим в разностное уравнение вместо разность . Тогда

.

Величина называется невязкой.

Разностная схема аппроксимирует исходную задачу, если при , стремящемся к нулю, невязка также стремится к нулю. Разностная схема называется устойчивой, если малым изменениям начальных условий и правых частей будут соответствовать малые изменения решения.

Теорема. Если решение исходной задачи существует, а разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то решение разностного уравнения сходится к точному решению исходного уравнения.

Проверим устойчивость разностной схемы для уравнения теплопроводности с ненулевой правой частью

.

Начальные условия можно взять нулевые .

Выражая из разностного уравнения , получим

.

Откуда, применяя неравенство треугольника для модуля, получим следующую оценку максимума модуля

, , .

То есть, малым изменениям начальных условий и правых частей, будут соответствовать малые изменения решения. Тогда разностная схема устойчива при выполнении условия .