6. Теория электромагнитного поля

П р и м е р 6.1. В электрическом поле точечного заряда напряжение между точками а и b равно 25 В ( рис. 6.1). Определить величину и направление напряженности поля в точке с, если точки a, b и с лежат в плоскости рисунка.

Р е ш е н и е. Напряженность электрического поля точечного заряда в произвольной точке

E = . (1)

Напряженность электрического поля в точке с:

E_с = . (2)

Напряжение между точками a и b

= (3)

Получив выражение для заряда q из уравнения (3) и подставив его в уравнение (2), найдем

Е_с= = 525 В.

П р и м е р 6.2. Коаксиальный кабель имеет радиусы внутренней жилы a=2 мм и внешней оболочки b = 5 мм.

Определить емкость кабеля на единицу длины и под какое напряжение можно подключить кабель, если максимальная напряженность поля не должна превышать 1/3 пробивной напряженности, равной Е_пр = 2·10⁴ кВ/м.

Р е ш е н и е. Проведем вокруг внутренней жилы коаксиального кабеля цилиндрическую поверхность радиусом r и длиной l.

По теореме Гаусса ∫ .

Из условий симметрии находим, что напряженность электрического поля Е направлена по радиусу и на торцевых поверхностях

.

Тогда уравнение Гаусса можно записать Е·2πrl=q/ε_a.

Откуда E = q/2πε_arl = , где τ -линейная плотность заряда.

По определению потенциал в любой точке равен

.

Полагая потенциал равным нулю на поверхности коаксиального кабеля при r=b, найдем произвольную постоянную const = .

Тогда потенциал в любой точке равен

Потенциал внутренней жилы коаксиального кабеля (при r=a) определим по уравнению

Это позволяет выразить линейную плотность заряда через напряжение U

и определить емкость кабеля на единицу длины

.

Напряженность электрического поля в любой точке

Напряженность поля максимальна на поверхности внутреннего цилиндра, т.е. в точках r=a: Е_max= . (1)

По условию Е_max=Е_пр/3. (2)

Решая уравнение (1) относительно выражения U и учитывая соотношение (2), получим U= =12,2 кВ.

П р и м е р 6.3 Определить потенциал точки М, расположенной между двумя заряженными осями.

Р е ш е н и е. Пусть одна ось на единицу длины имеет заряд + τ, другая – заряд –τ. Возьмем в поле некоторую произвольную точку М (рис. 6.3).

Р езультирующая напряженность поля в ней равна геометрической сумме напряженностей от обоих зарядов.

Расстояние точки М до положительно заряженной оси обозначим через  а, до отрицательно заряженной оси - через b.

Потенциал есть функция скалярная. Потенциал точки М равен сумме потенциалов от каждой оси:

+ =

Уравнением эквипотенциали в поле двух заряженных осей является выражение b/a=const.

Эквипонциаль представляет собой совокупность точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная.

В геометрии известна теорема Аполлония. Согласно этой теореме геометрическим местом точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная, является окружность. Поэтому эквипотенциаль в поле двух заряженных осей есть окружность.

Рассмотрим, как ее можно построить. Соединим точку М с осями. Проведем биссектрисы внутреннего (aMb) и внешнего (pMA) углов. Точки 1 и 2 пересечения биссектрис с линией, проведенной через заряженные оси, и точка М будут тремя точками искомой окружности.

Для нахождения положения центра окружности (точки) разделим пополам расстояние между точками 1 и 2.

П р и м е р 6.4 Определить емкость двухпроводной линии.

Р е ш е н и е. Расстояние между осями двух проводов линии (рис. 6.4) обозначим через d, радиус каждого провода – через r. Если левому проводу будет сообщен, например, заряд + τ на единицу длины, а правому- заряд - τ, то в пространстве между проводами возникнет электрическое поле. Заряды проводов распределятся по поверхности с неодинаковой плотностью. Поверхность каждого провода в отдельности является эквипотенциалью. Внутри проводов Е=0. Задача о поле двухпроводной линии сводится к рассмотренной задаче о поле двух заряженных осей. Расположим две заряженные оси так, чтобы поверхности каждого провода являлись эквипотенциальными.

Точки О₁ и О₂ означают геометрические оси проводов. Пусть заряженные оси будут расположены в точках m и n. Из условия симметрии они на одинаковое расстояние x удалены от геометрических осей.

Запишем условие равенства потенциалов точек 1 и 2 левого провода. Отношение b/a для точки 1 есть  ; отношение b/a для точки 2 равно .

И з равенства = получим х = d/2±√(d/2)² –r²

В последнем выражении знак минус перед радикалом соответствует положению точки n, знак плюс - точке m.

Нетрудно убедится в том, что если d >> r, то x становится много меньше r. При этом электрические и геометрические оси практически совпадают.

Для определения емкости двухпроводной линии, выразим напряжение между двумя проводами через заряд τ на единицу длины. Точка 1 (рис. 6.4) принадлежит поверхности левого провода, точка 3­ – поверхности правого провода.

Разность потенциалов между ними:

U₁₃ = φ₁ - φ₃ = ln - ln .

При d >> r x<<r, поэтому U₁₃ = 2 ln = ln .

Следовательно, емкость единицы длины линии при условии d >> r :

С = .

Емкость действительно зависит только от геометрических размеров и свойств среды и не зависит от величины заряда τ и величины напряжения U₁₃. Если расстояние между двумя проводами увеличивать, то емкость будет уменьшаться.

П р и м е р 6.5. Два провода диаметром 10 мм расположены в воздухе параллельно друг другу (рис. 6.5). Расстояние между осями проводов d = 20 мм. Заряд каждого провода на метр длины 10^-8 Кл. Левый провод несет положительный заряд, правый – отрицательный.

Найти наибольшую и наименьшую плотности заряда на поверхности провода.

Р е ш е н и е. Находим положение электрических осей используя формулу, полученную в предыдущей задаче:

x = d/2±√(d/2)² – r² =1,35 мм.

Плотность заряда на поверхности металла

σ = D = .

Следовательно, σ будет больше там, где Е больше.

Если учесть, что напряженность поля, создаваемая положительным зарядом, направлена от этого заряда, а напряженность поля, создаваемая отрицательным зарядом, направлена к заряду, то ясно, что наибольшая напряженность поля в точке А, наименьшая - в точке В.

Напряженность поля в точке А равна сумме напряженности от обоих зарядов, а в точке В – разности напряженностей:

+ ; .

Отсюда

D_A=σ_A=ε_aE=0.544 мкК/м², D_B=σ_B=ε_aE_B=0.186 мкК/м².

Таким образом, плотность заряда в точке А в 2,92 раза больше, чем плотность заряда в точке В.

Найдем градиент потенциала в точке М (расположенной посередине между проводами на линии, соединяющей их центры).

Так как φ, то модуль grad φ равен модулю E, а направление qrad φ противоположно направлению .

В точке М

В/м

Направления и qrad φ даны на рис. 6.5.

П р и м е р 6.6. Графическим путем построить картину электрического поля между двумя параллельными бесконечно длинными проводящими цилиндрами, заряженными разноименно  (рис. 6.6).

Радиус первого цилиндра r₁=2 см, радиус второго цилиндра r₂=4 см. Расстояние между геометрическими центрами цилиндров 8 см.

Полагая электрическую проницаемость среды равной ε₀ определить по картине поля емкость между цилиндрами на 1м длины.

Р е ш е н и е. Картина электрического поля, построенная графическим методом, приведена на рис. 6.7.

З десь число силовых трубок m=12, число клеток в трубке n=6. Отношение ширины клетки к ее длине b/a=2.

Емкость между цилиндрами на 1 м длины

С= =35,4 ·10^-12 Ф/м.

П р и м е р 6.7. Вдоль двухпроводной линии протекает постоянный ток I=36 А. Направление тока в проводах линии показательно на рис. 6.8. Расстояние между осями проводов d=1 м.

Определить разность скалярных магнитных потенциалов между точками M и N, M и P, т.е. и . Координаты точек: x_M=0,5 м; y_M=0,5 м; x_N=0; y_N=0,5 x_р=-0,5 м; y_р= 0,5 м.

Качественно построить картину магнитного поля двухпроводной линии.

Р е ш е н и е. Магнитное напряжение между точками M и N по пути MlN, обусловленное током левого провода (рис. 6.9,а), U_mM = .

Магнитное напряжение между точками M и N по пути MКN, обусловленное током правого провода,

U_mM = ,

где β=45º.

Так как tg α = 0,5; α = 45º-26,5º = 18,5º.

Магнитное напряжение между точками M и N

U_mMN= U_mM + U_mM = 36/360º (-45º+18º) = -2,65 А.

Магнитное напряжение между точками M и P (рис. 6.9, б)

U_mMP = U_mM + U_mM = (I/360) β₁ –(I/360) α₁ = 12,5 А,

где  β₁ = 360º- (90º+26,5º) = 243,5º; α₁ = 90º+26,5º = 116,5º.

Картина магнитного поля двухпроводной линии приведена на рис. 6.9, в.

П р и м е р 6.8. Вдоль длинного цилиндрического стального провода протекает постоянный ток. Радиус провода r₀ =1 см. Относительная магнитная проницаемость стали μ=50. Средой, окружающей провод, является воздух. Проекция векторного магнитного потенциала на ось z меняется в функции расстояний от оси провода по закону A₁= - 6,28 r² Вб/м, а вне провода она меняется по закону

А₂= - 25,1· 10^-6 In - 6,28·10^-4 Вб/м.

Найти законы изменения модуля напряженности магнитного поля и модуля вектора намагниченности в функции расстояния от оси провода.

Построить графики Н=f ( R ) и J= f₁ ( R ) при 0 < r < ∞.

Р е ш е н и е. Так как, модуль вектора магнитной индукции внутри и вне провода найдем из выражений:

B₁ = B_1α = rot_α = – = 12,56 r

B₂ = B_2α = rot_α = – = 25,1·10^-6 1/r.

Определим модуль напряженности магнитного поля внутри и вне провода: Н₁=В₁/μ_1а=2·10⁵ r А/м ; (1)

Н₂=В₂/μ_2а=20 1/ r А/м . (2)

П ользуясь выражениями (1) и (2), строим график зависимости Н=f(r) (рис. 6.10)

Т.к. индукция , то модуль вектора намагниченности внутри провода

J₁= В₁/μ₀ – H₁=9,8·10⁶ r А/м; (3)

модуль вектора намагниченности вне провода J₂=0. (4)

По уравнениям (3) и (4) строим график зависимости J=f(r) (рис. 6.10).

П р и м е р 6.9. Определить индуктивность двухпроводной линии, если радиус проводников r, а расстояние между проводниками d.

Р е ш е н и е. 1) Выберем внутри проводника площадку dS = ldr и определим магнитный поток внутри проводника

;

и потокосцепление

. (1)

Т. к. через сечение проводника радиуса r протекает часть тока I равная

то из закона полного тока Hdl=i определим

,

подставим это выражение в уравнение (1)

μ_a ldr=

2) Определим магнитный поток и потокосцепление между проводниками от одного проводника

3) Определим суммарное потокосцепление от двух проводников

4) Индуктивность двухпроводной линии

5). При d >>a и немагнитных проводниках

П р и м е р 6.10. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха в металлическую плиту. Удельная проводимость металла γ=5·10⁶ См/м, его относительная магнитная проницаемость μ=1. Фронт волны параллелен поверхности плиты. Частота колебаний f=5000 Гц. Амплитуда плотности тока на поверхности J_m=5√2·10⁵ А/м².

Определить активную мощность, поглощаемую слоем металла толщиной 0,5 см и площадью 1м². Найти глубину проникновения электромагнитной волны h и ее длину λ в металле.

Р е ш е н и е. Комплекс действующего значения модуля вектора Пойнтинга на поверхности плиты

где ; ; Z_B = = 8,85·10^-5е^j45º Ом

Подставляя числовые значения в последние уравнения, получим

=1130 е^j45º Вт/м².

Комплекс действующего значения модуля вектора Пойтинга на глубине x=0,5 см

= 1130 е ^{– 314 · 0,005}е^j45º = 235 е^j45º Вт /м²,

где κ = =314 м ^-1.

Активная мощность, поглощаемая слоем металла толщиной 1,5 мм и площадью s = 1 м²,

P = (S₁-S₂)s cos 45º = S₁(1-e^-2βx) s cos 45º=762 Вт.

Глубина проникновения электромагнитной волны в металл

h=1/κ=3,18·10^-3 м.

Длина волны λ=2π/ κ=2·10^-2 м.

П р и м е р 6.11. Стальная полоса с поперечными размерами 2а=1 мм и h=50 мм находится в переменном магнитном поле, изменяющемся во времени по синусоидальному закону с частотой f=500 Гц (рис. 6.12) Вектор напряженности магнитного поля на поверхности шины  А/м. Удельная проводимость стали γ = 4·10⁶ См/м, относительная магнитная проницаемость μ=200.

Найти действующее значение магнитного потока, проходящего через поперечное сечение шины. Построить график зависимости модуля действующего значения плотности вихревых токов от координаты z

Р е ш е н и е. Среднее значение магнитной индукции по сечению шины = 5,06·10^-3 е ^j31º Tл,

е^j45º=1780 е^j45º м^-1; th pa=0,895 е ^j31º.

Действующее значение магнитного потока

=25,3 ·10^-8 Вб.

Плотность вихревых токов распределяется по сечению шины по закону · .

Подставим численные значения в последнее выражение.

При z=0,25мм J=1,44∙10⁴ А/м² ,

при z=0,5мм J=3,18∙10⁴ А/м² .

По этим данным строим зависимость модуля действующих значений плотности вихревых токов в функции координаты z, (рис. 6.13).

П р и м е р 6.12. Определить активное и внутреннее индуктивное сопротивление медной прямоугольной шины длиной 1 м, толщиной 1 мм и высотой 20 мм для переменного тока частотой ω = 10⁵ рад/с, если См/м, μ_r = 1.

Р е ш е н и е.

Используя теорему Пойнтинга в комплексной форме и полученные ранее уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей

где h – высота, 2a – толщина пластины, р – корень характеристического уравнения.

Найдем комплексное сопротивление шины

.

При этом учитываем взаимную перпендикулярность векторов E и H и направленность потока вектора Пойнтинга внутрь пластины через две боковые поверхности величиной 2hl.

Определяем значения корня характеристического уравнения

Вычисляем величину

полагая p = k + jk; , , .

Подставляем вычисленные значения и определяем комплексное сопротивление шины на единицу длины

Ом/м

Таким образом, активное сопротивление шины длиной 1 м равно Ом, а индуктивное сопротивление равно Ом.

П р и м е р 6.13. Определить активное и полное индуктивное сопротивление двух медных шин длиной 1 м, высотой 20 мм и толщиной 1 мм, расположенных на расстоянии в = 2 мм, если по ним проходит ток частотой ω = 10⁵ рад/с.

Р е ш е н и е.

Полное сопротивление двух шин будет складываться из внутреннего комплексного сопротивления шин и индуктивного сопротивления, обусловленного магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами Z_полн=2Z_вн+2jX_сн

Определяем внутреннее комплексное сопротивление одной шины, учитывая эффект близости и полученные ранее формулы для напряженностей электрического и магнитного полей

где

Отметим, что из-за эффекта близости активное сопротивление шины возросло (см предыдущий пример) с 9,8∙10^-4 до 15,7∙10^-4 Ом/м.

Определяем индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами

Ом.

Полное сопротивление линии из двух шин длиной 1 м равно

Ом.

Ответы

Глава1

1. I₁=40A; I₃=40/3A; I₅=80/3A; I₄=80/9A; I₁=160/9A; 2) 9A; 3) 1Om; 4) 2R; 5) 200B; 6) I_H=10 A; I_E=5 A; P=500 Bт; 7) I₁ =20A; I₂ = I₃=25A; 8) 2A; 9) 1; 10) 6; 11) 19A; 12) 40,5 Вт; 13) 400A; 14) I₁=0,667(1+I₂) A; 15) U=25-0,5I B;16) R_i=25 Oм; R; R_ш=0,025 Ом; 17) нельзя; 18) а)8 А; 80 В; б) 6 А; 60 В; в) 4,8 А; 48 В; г) 4 А; 40 В.

Глава 2

1. P=15 Вт, cos=0,6; 2)U_ab =100 В; 3) 1,5 А; 4) R=X_L=2,5 Ом; 5) E=10 ; ; 6) 630 В; 7) I=0,0216 А; U_R=2,6 В; U_c=3,9 В; U_L=15,6 В; 8) I₁=1 А; I₂=1,41 А; U₁=8 В; 9) Ом; Ом; Ом; 10) =433c^-1; 11) А; А; А; А; 12) а) U₂=60 В; P₁=0; б)P₂=130 Вт; U₂=27 В; 13) Ф; 14) R=4 Ом; L=0,1 Гн; 15) в.

Глава 3

1) 1; 2) 6; 3)12; 4) 13; 5) 7; 6) 12; 7) 9; 8) 13; 9)13; 10) 19.

Глава 4

1) 3; 2) 9; 3) 13; 4) 18; 5) 23.

Глава 5

1) 1; 2) 7; 3) 10; 4) 13; 5) 19.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демирчян, К.С. Теоретические основы электротехники: учеб. для вузов: в 3 т./ К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, В.Л. Чечурин, Н.В. Коровкин. – 4-е изд., доп. для самостоятельного изучения курса. - Питер, 2004. – т.1. – 462 с.

2. Демирчян, К.С. Теоретические основы электротехники: учеб. для вузов: в 3 т./ К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, В.Л. Чечурин, Н.В. Коровкин. – 4-е изд., доп. для самостоятельного изучения курса. - Питер, 2004. – т.2. – 575 с.

3. Демирчян, К.С. Теоретические основы электротехники: учеб. для вузов: в 3 т./ К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, В.Л. Чечурин, Н.В. Коровкин. – 4-е изд., доп. для самостоятельного изучения курса. - Питер, 2004. – т.3. – 377 с.

4. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники: электрические цепи / Л. А. Бессонов: учеб. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2001. – 637с.

5. Потапов, Л. А. Краткий курс теоретических основ электротехники / Л. А. Потапов. – 2-е изд., стер. – Брянск:БГТУ, 2005. – 179 с.

6. Коровкин, Н. В. Теоретические основы электротехники. Сборник задач: учеб. пособие / Н.В. Коровкин, Е.Е. Селина, В.А. Чечурин – СПб.: Питер, 2004. – 511 с.

Приложения