Наукові основи шкільного курсу математики

Алгебра висловлень

Синтаксис і семантика мови алгебри висловлень. Висловлення. Формули, їхні види. Відношення рівносильності формул. Тавтології - закони логіки. Основна теорема про тавтології та її наслідки. Методи встановлення тавтології. Відношення логічного слідування в алгебрі висловлень. Теореми про логічне слідування. Правила Генцена. Функції алгебри висловлень. Повні системи істинностних функцій. Алгоритми побудови диз'юнктивної та кон'юнктивної нормальних і досконалих форм. Теорема про досконалі форми.

Числення висловлень (теорія L)

Алфавіт та формули числення висловлень. Аксіоматичні схеми. Формальне введення і доведення. Відношення вивідності формул та його властивості (метатеореми 1,2). Теорема дедукції (метатеорема 3) та її наслідки. Правила введення і видалення логічних операторів(метатеорема 5). Несуперечність теорії L (метатеорема 4). Незалежність теорії L-Повнота теорії L (метатеорема б). Адекватність алгебрі висловлень. Розв'язність теорії L.

Алгебра предикатів

Необхідність розширення алгебри висловлень. Предикат, логічна функція. Формули алгебри предикатів, їх класи фікація. Інтерпретації формул. Відношення рівносильності формул. Істинностні таблиці формул. Види формул. Логічне слідування в алгебрі предикатів. Застосування мови алгебри предикатів стосовно складання дефініцій, запису математичних положень, аналізу міркувань.

Елементи теорії алгоритмів.

Необхідність уточнення поняття алгоритму. Зведення алгоритму до обчислення функції. Обчислюванні функції. Алгоритми над словами. Нормальні алгоритми Маркова. Тезис Чьорча - Маркова. Машина Тюрінга як математична модель алгоритму. Тезис Чьорча - Тюрінга. Існування функцій, які не обчислюються за Тюрінгом.