Математичний аналіз

Вступ до аналізу

Математичні величини, сталі, та змінні величини. Елементарна та вища математика, їх об’єкти дослідження. Функціональні залежності між математичними величинами. Предмет і метод математичного аналізу. Зв’язок математичного аналізу з шкільним курсом математики.

Числові множини N, Z, Q. Операції над раціональними числами. Властивості раціональних чисел. Множина ірраціональних чисел. Аксіома Кантора. Властивості ірраціональних чисел. Множина дійсних чисел. Основні властивості дійсних чисел. Скінченні та нескінченні числові проміжки. Принцип вкладених відрізків.

Модуль дійсного числа. Властивості модуля дійсного числа. Розв’язування рівнянь та нерівностей за допомогою персонального комп’ютера.

Поняття околу точки числової прямої. Обмежені числові множини. Точна верхня і точна нижня межи числової множини. Принцип Вейерштрасса.

Задачі, які приводять до поняття функції. Поняття відповідності та функції. Область визначення та множина значень функції. Звуження та розширення функції. Способи завдання функції. Обернена функція, графіки взаємо-обернених функцій. Композиція функцій. Арифметичні операції над функціями.

Класифікація функцій: обмежені та необмежені функції, монотонні функції, парні та непарні функції, періодичні функції. Основні елементарні функції. Елементарні функції: цілі раціональні функції; дробово-раціональні функції; ірраціональні функції; алгебраїчні та трансцендентні функції. Побудова графіків елементарних функцій, елементарні перетворення графіків функцій, побудова графіків функцій за допомогою персонального комп’ютера.

Означення та способи завдання числової послідовності. Монотонні числові послідовності. Обмежені числові послідовності. Арифметичні операції над числовими послідовностями. Границя числової послідовності. Збіжні та розбіжні послідовності. Найпростіші теореми про границі. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності.

Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності, їх властивості. Основні властивості границь: зв’язок збіжної послідовності з нескінченно малою числовою послідовністю, границя суми, добутку, частки, різниці числових послідовностей. Існування границі монотонної обмеженої послідовності.

Означення границі функції в точці та на нескінченності по Коші та Гейне. Критерій існування границі функції. Теореми про границі. Деякі важливі границі. Обчислення границь числових послідовностей та функцій в точці за допомогою персонального комп’ютера.

Односторонні границі функції в точці. Нескінченно малі функції. Еквівалентні нескінченно малі функції. Нескінченно малі функції різних порядків. Нескінченно великі функції. Теореми про границі.

Задачі, які приводять до поняття неперервності функції. Неперервність функції в точці. Критерій неперервності функції в точці. Арифметичні дії над неперервними функціями. Неперервність функції на множині. Неперервність основних елементарних та елементарних функцій. Неперервність складної функції. Точки розриву функції І і ІІ роду.

Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність, теорема Кантора.

Диференціальне числення функції однієї змінної

Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної функції дійсної змінної. Геометричний та механічний зміст похідної.

Поняття функції диференційованої у точці і на множині. Зв’язок диференційованості з неперервністю. Основні правила диференціювання функції: похідна суми, добутку і частки; похідна складної функції; похідна оберненої функції. Похідні елементарних функцій. Диференціювання параметрично і неявно заданих функцій.

Диференціал функції, його геометричний і механічний зміст. Інваріантність форми диференціала. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків.

Основні теореми про диференційовані функції на відрізку: теорема Ролля, Лагранжа, Коші; формула Тейлора; правило Лопіталя.

Дослідження функцій за допомогою похідних. Зростання та спадання функцій. Критичні точки. Необхідна і достатні умови локального екстремуму функції. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку.

Опуклість і вгнутість кривої, точки перегину. Асимптоти кривих. Загальна схема дослідження функцій та побудова її графіків.

Аналіз графіків функцій які побудовано за допомогою персонального комп’ютера.

Інтегральне числення функцій однієї змінної

Задачі, які приводять до поняття первісної. Первісна у шкільному курсі математики. Поняття первісної, теорема про множину первісних. Поняття неозначеного інтеграла. Властивості неозначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.

Основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод підстановки, метод інтегрування за частинами.

Інтегрування елементарних раціональних дробів. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій. Інтегрування трансцендентних функцій (тригонометричних, обернених тригонометричних, гіперболічних, логарифмічних та показникових). Інтегрування функцій за допомогою персонального комп’ютера.

Задачі, які приводять до поняття означеного інтеграла. Означений інтеграл. Інтегрованість функції за Ріманом. Необхідна умова інтегрованості.

Суми Дарбу та їх властивості. Критерій інтегрованості функції за Ріманом. Класи інтегрованих функцій (інтегрованість неперервної функції на відрізку, інтегрованість монотонної функції, інтегрованість обмеженої кусково-неперервної функції). Властивості означеного інтеграла.

Означений інтеграл із змінною верхньою межею інтегрування. Формула Н’ютона – Лейбніца. Формула зміни змінної і інтегрування за частинами для означеного інтеграла.

Наближені обчислення означених інтегралів: постановка задачі, формула прямокутників, формула трапецій, параболічна формула. Обчислення означених інтегралів за допомогою персонального комп’ютера.

Невласні інтеграли з нескінченними границями і невласні інтеграли від необмежених функцій. Ознаки збіжності невласних інтегралів.

Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских областей (випадки декартової та полярної систем координат, параметрично заданої кривої)

Застосування означеного інтеграла до обчислення об’єму тіла обертання.

Поняття спрямлюваної кривої. Критерій спрямлюваності. Адитивна властивість спрямлюваної кривої. Обчислення довжин кусково-гладких кривих. Диференціал довжини дуги. Кривина і радіус кривини дуги.

Застосування означеного інтеграла до обчислення площі поверхні обертання.

Використання персонального комп’ютера при обчисленні площ плоских фігур, об’ємів та поверхонь тіл обертання.

Застосування означеного інтеграла у фізиці (обчислення центру ваги кривої, центру ваги криволінійної трапеції, статичних моментів, механічної роботи та сили тиску).

Числові та функціональні ряди

Числові ряди. Місце і значення розділу “Ряди” у курсі математичного аналізу. Основні поняття щодо числових рядів. Геометричний та гармонічний ряди.

Необхідна ознака збіжності числового ряду. Дії над рядами: додавання рядів, множення ряду на число. Критерій Больцано – Коші збіжності числового ряду. Ознаки порівняння.

Достатні ознаки збіжності числових рядів: Даламбера, Коші (радикальний та інтегральний).

Знакозмінні числові ряди. Абсолютна та умовна збіжність рядів. Ознака Лейбніца та її застосування.

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності. Рівномірна збіжність. Інтегрування та диференціювання степеневих рядів.

Розклад функції в ряди Тейлора та Макларена. Степеневі ряди для функцій: sinx, cosx, ex, ln(1+x), (1+x).

Степеневі ряди з комплексними членами. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень: значень функцій, інтегралів тощо.

Функціональні послідовності, їх збіжність, рівномірна збіжність.

Функціональний ряд, його збіжність, рівномірна збіжність. Критерій збіжності функціонального ряду.

Властивості рівномірної збіжності функціональних послідовностей і рядів.