Вспомогательная окружность.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АР, BQ и CR. Доказать, что Z.BAP—Z.BQR.

Решение. Пусть Н — точка пересечения высот треугольни­ка ABC (рис. 22). Так как Z.ARH = Z.AQH = 90°, то около четы­рехугольника ARHQ можно описать окружность, приняв отрезок АН за диаметр. Построив ее, замечаем, что Z.BAP= Z.BQR как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Спрямление

Задача №1:Построить равнобедренный треугольник, если даны его угол при основании и сумма с боковой стороной.

Решение:

Задача № 2:Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме s катетов. Имеет ли задача решение, если с=10 и s=15?

Дополнительные треугольники

Задача № 1:Дан треугольник ABC, угол A которого в два раза больше угла B. Найти сторону AB, если BC=a и AC=b.

Решение:

Задача № 2:На прямой даны три точки A, B и H. Постройте треугольник ABC так , чтобы его угол A был в двое больше угла B, а точка H служила основанием высоты CH треугольника.

Алгебраический метод.