Построение разностных схем для уравнений в частных производных

Рассмотрим прямоугольную область

При решении задач разностным методом вводится разностная сетка (рис. 13), чаще всего равномерная, с координатами узлов , где ; – шаг по координате ; ( где ; - шаг по времени. Значения функции в узлах сетки обозначим = .

При численном решении уравнений в частных производных входящие в эти уравнения частные производные заменяют, на соответствующие им, конечно-разностные отношения. Полученное в результате такой замены уравнение называется разностной схемой или разностным уравнением. То есть, вместо решения исходного уравнения решается соответствующее ему разностное уравнение.

Отношения конечных разностей для частных производных строятся так же, как и для обычных производных

, , , , .

Рассмотрим конкретный пример процесса теплопередачи по длинному стержню, лежащему вдоль оси от до . Предположим, что в точке температура задается функцией , а в точке функцией . Предположим также, что в момент времени распределение температуры вдоль стержня задавалось функцией . Тогда распределение температуры вдоль стержня во все последующие моменты времени дается решением уравнения

, (1)

где - температура стержня в данной точке в данный момент времени, а постоянная , – теплоемкость материала стержня, – плотность материала стержня и – его теплопроводность. Для простоты положим , так что уравнение сведется к следующему виду:

. (2)

Граничными и начальными условиями для этого уравнения являются

. (3)

. (4)

При решении задач разностным методом граничные и начальные условия определяются следующим образом

Заменяя в исходном уравнении (1) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей

; ,

получим разностную схему:

. (5)

0

Пространственно-временная сетка

Это и есть разностное уравнение для уравнения теплопроводности, то есть соотношение, при помощи которого можно вычислить значения в данный момент времени через решение в предыдущий момент времени. Такие разностные уравнения, или разностные схемы, называются явными.

У явных схем есть серьезный недостаток. Если шаг по времени оказывается достаточно большим по сравнению с шагом по , погрешности округления могут стать настолько большими, что полученное решение потеряет смысл. Отношение шагов по t и x зависит от уравнения и граничных условий, но в общем случае должно выполняться условие устойчивости . Шаблон разностной схемы (5) изображен на рисунке.