2. Програма державного екзамену Основні структури сучасної математики

Основні алгебраїчні структури

Бінарні алгебраїчні операції. Асоціативність, комутативність та дистрибутивність бінарних операцій. Нейтральний елемент, симетричні елементи. Обернені операції. Алгебраїчні структури, алгебри. Означення і приклади груп. Елементарні відомості про групи. Означення кільця й приклади кілець. Елементарні відомості про кільця. Область цілісності. Означення поля. Приклади полів. Деякі властивості полів. Характеристика поля. Підполе, розширення поля. Упорядковані кільця і поля. Поняття ізоморфізму. Ізоморфізм груп. Ізоморфізм кілець і полів.

Подільність в кільці цілих чисел

Означення й основні властивості подільності в кільці цілих чисел. Ділення з остачею. Найбільший спільний дільник цілих чисел, алгоритм Евкліда. Властивості НСД. Взаємно прості числа. Найменше спільне кратне. Системи числення. Арифметичні операції над системними числами. Переведення цілих чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Прості числа. Теореми про прості числа. Нескінченість множини простих чисел. Решето Ератосфена. Основна теорема арифметики. Канонічний розклад складеного числа. Числові функції.( [x], {x}, (x), (x), (x), (x)). Ланцюгові дроби. Запис раціональних чисел у вигляді скінчених ланцюгових дробів. Підхідні дроби та їх основні властивості. Розв’язування в цілих числах лінійного рівняння з двома невідомими.

Групи і кільця

Групи. Підстановки. Групи підстановок. Підгрупи. Циклічні групи. Розклад групи за підгрупою. Нормальні дільники групи. Фактор-групи. Гомоморфізми груп. Елементарні відомості про кільця. Кільця з одиницею. Дільники нуля. Область цілісності. Поле часток. Ідеали кільця. Операції над ідеалами. Фактор-кільце. Гомоморфізми кілець. Характеристика кільця з одиницею. Подільність в області цілісності. Кільце головних ідеалів. Евклідові кільця.

Теорія конгруенцій

Конгруенції в кільці цілих чисел. Властивості конгруенцій за даним модулем. Властивості конгруенцій за різними модулями. Класи чисел за даним модулем. Фактор-кільце класів лишків за даним модулем. Повна та зведена система лишків за даним модулем. Функція Ейлера та її властивості. Теорема Ейлера і Ферма. Лінійні конгруенції з одним невідомим. Способи розв'язування конгруенцій першого степеня. Системи конгруенцій. Конгруенції n-го степеня. Побудова рівносильних конгруенцій. Число розв'язків конгруенції n-го степеня. Квадратичні лишки і нелишки. Критерій Ейлера. Символ Лежандра. Розв'язування квадратичних конгруенцій. Показники за модулем. Властивості показників за модулем. Добуток показників. Існування первісних коренів. Число класів первісних коренів. Індекси за простим модулем. Розв'язування двочленних конгруенцій n-го степеня за допомогою індексів. Застосування конгруенцій до встановлення ознак подільності. Перетворення дробу в систематичний і визначення довжини періоду систематичного дробу.

Алгебраїчні числа

Поняття алгебраїчного розширення. Поле алгебраїчних чисел. Поняття побудовності чисел. Побудовність і числові поля. Критерії побудовності числа циркулем і лінійкою.

Дискретна математика

Висловлення. Логічні операції (заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквіваленція). Рівносильність висловлень. Логічні формули. Логічні закони. Множини і підмножини. Операції над множинами (об’єднання, різниця, перетин, симетрична різниця, доповнення). Властивості операцій над множинами. Діаграми Ейлера – Венна. Прямий добуток множин. Відношення між елементами множини. Операції над відношеннями. Властивості відношень. Відношення еквівалентності. Розбиття множини на класи еквівалентності, фактор-множина. Відношення порядку. Відповідність, функція, сюр’єктивні, ін’єктивні та бієктивні відображення. Рівнопотужність і подібність множин. Бульові функції і предикати. Логіка предикатів. Запис висловлень за допомогою логічної мови. Рівносильність предикатів на множині. Поняття теореми. Прості і складні теореми. Обернені і протилежні теореми. Необхідні і достатні умови. Доведення від супротивного.

Числові системи

Скінченні і нескінченні множини. Натуральні числа. Принцип математичної індукції. Елементи комбінаторики. Поле дійсних чисел. Аксіоматичне означення поля дійсних чисел. Наслідки з аксіом поля й упорядкованості поля. Наслідки з аксіоми точної верхньої межі. Позиційний десятковий запис дійсних чисел. Побудова поля комплексних чисел. Властивості комплексних чисел. Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа. Геометрична інтерпретація операцій над комплексними числами. Формула Муавра. Добування квадратного кореня з комплексного числа. Добування кореня n–го степеня з комплексного числа. Корені з одиниці. Загальні відомості про рівняння і системи рівнянь. Деякі означення в термінах математичної логіки. Алгебраїчні рівняння n-го степеня з одним невідомим (квадратні, кубічні, рівняння четвертого степеня).