3.1. Дифференциальные уравнения (MathCad)

Задание 1.

Преобразование дифференциального уравнения 2-го порядка в систему 2-х уравнений 1-го порядка.

Для того, чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка f(x, y,y^’,y^’’) = 0,

вводят замену:

y`(x)=g(x),

тогда

y``(x)=g`(x)

К полученным уравнениям применяем формулу Эйлера и получаем систему:

1-ое уравнение: g_i=g_i-1+h*f(x_i-1,y_i-1)

2-ое уравнение: y_i=y_i-1+g_i-1*h,

где f(x_i-1,y_i-1) = (2e^-x_i-1cosx_i-1 – 2g_i-1 – 2y_i-1)/d

Блок-схема алгоритма представлена в п.2.2.

Задание 2.

Программа решения системы дифференциальных уравнений с использованием средств программирования MathCAD.

Таблица значений и график y(x)

Рис. 5. График y(x).

Оценка точности решения путем уменьшения шага в 2 раза методом Рунге.

Оценим точность по правилу Рунге:

eps=|y_n-y_2n|/(2^k-1). Для метода Эйлераk=2. Получим:

Итак, при помощи средств программирования MathCADбыла разработана программа решения системы дифференциальных уравнений методом Эйлера. Был построен график. При помощи правила Рунге была посчитана погрешность метода Эйлера (с уменьшением шага в 2 раза).

Задание 3.

Проверка с помощью встроенных функций MathCAD.

Рис. 6. График y(x).

При решении дифференциального уравнения с помощью встроенных функций MathCAD(методом Рунге-Кутта) и с помощью написанной программы были получены практически одинаковые результаты. Небольшое расхождение вызвано тем, что метод Эйлера, используемый в программировании, дает достаточно большую погрешность.

Задание 4.

Доработка программы решения системы дифференциальных уравнений при изменении параметра d от 0.5 до 1,5 с шагом 0,1 с целью построения трехмерного графика зависимости y(d,x).

Рис. 7. Трехмерный график при изменении параметра d. (dy`` + 2y` + 2y = 2e^-x cos x)

Разработана программа решения системы дифференциальных уравнений, с использованием средств программирования MathCAD, при изменении параметра d от 0,5 до 1,5 с шагом 0,1 с целью построения трехмерного графика зависимости y(d,x). Построен график y(d,x).