Дифференциальные уравнения первого порядка.

Рассмотрим на примере, как решаются дифференциальные уравнения первого порядка.

Пример. Решить уравнениеу¢ = 2у/x + х с начальным условиему(1) = 0 на отрезке[1; 1,5]

Для решения дифференциального уравнения первого порядка

У₀: = 0 – задание начального значения

D(x, y): = – определить функцию, задающую производную

z:= rkfixed (y,1,1.5,50,D). – находится решение в 50 точках отрезка [1, 1,5]

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать:

• вектор начальных условий состоит из двух элементов: значений функции и ее первой производной в начальной точке интеграла.

• функция D(х, у) – вектор с двумя элементами:

D(x, y) =

Матрица решения содержит три столбца: первый значения х, в которых ищется решение, второй – у(х) и третий – у¢(x)

Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка со следующими начальными условиямиу(0) = 1, у¢(0) = 3 на отрезке [0; 0,5].

Системы дифференциальных уравнений.

Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка необходимо:

• определить вектор, содержащий начальные значения для каждой неизвестной функции;

• определить функцию, которая возвращает значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные каждой из неизвестных функций;

• выбрать точки для поиска приближенного решения.

• задать функцию rkfixed.

Функция вернет матрицу, первый столбец которой – значения аргумента, а остальные столбцы содержат значения найденных приближенных решений в соответствующих точках.

Пример.

Решить систему двух ОДУ

с начальным условиями х₀(0) = 0, х_i(0) = 1

Примечание. Mathcad имеет ещё две встроенные функции для решения задачи Коши. Это функции Rkadapt и Bulstoer. Эти функции имеют те же самые аргументы и возвращают решения в такой же форме, что и функция rkfixed. Первая из этих функций использует метод Рунге-Кутты с переменным шагом, что позволяет повысить точность вычислений и сократить их объём, если искомое решение имеет области, где её значения меняются быстро и области плавного изменения. Функция Rkadapt будет варьировать величину шага в зависимости от скорости изменения решения.

Функция Bulstoer реализует иной численный метод – Метод Булирша-Штёра. Её следует применять, если известно, что решение является гладкой функцией.

Решение краевой задачи для дифференциального уравнения.

Пусть имеется дифференциальное уравнение второго порядка

.

Решение уравнения требуется найти на интервале [0; 1], причём известно, что у(0)=у₀, у(1)=у₁. Понятно, что произвольный интервал [a, b] заменой переменных может быть сведен к единичному.

Для решения краевой задачи обычно применяют метод стрельб, позволяющий свести решение краевой задачи к задаче Коши. Пусть k некоторый параметр, такой что y(0)=k. Для некоторого пробного значения k может быть решена задача Коши, например, методом Рунге-Кутты. Мы хотим найти такое значение параметра, чтобы выполнялось условие y(1,k)=y₁. Фактически мы свели исходную задачу к задаче решения трансцендентного уравнения с таблично заданной функцией. Если найдены такие значения параметра k₁ и k₂, что y(1,k₁)>y₁ и y(1,k₂)<y₁, то дальнейшее уточнение значения параметра можно проводить методом деления отрезка пополам.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения при условияхи.

При значениях параметров _.

Для решения краевой задачи имеется встроенная функция sbval, реализующая метод стрельб и позволяющая свести краевую задачу к задаче Коши. Функция sbval имеет следующие параметры:

• v– вектор, содержащий начальные приближения для недостающих начальных условий,

• x_min, x_max – границы интервала, на котором ищется решение,

• D(x,y) – вектор–функция, содержащий правые части системы дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной исходному уравнению, размер вектора n совпадает со степенью старшей производной дифференциального уравнения

• load(xmin,v) – вектор–функция, элементы которой соответствуют n значениям функций на левой границе интервала. Часть этих значений известна, а для части заданы начальные приближения в векторе v. Их уточненные значения будут найдены в процессе вычисления

• score(xmax,y) – вектор–функция, имеющая то же число элементов, что и v. Каждое значение является разностью между начальными значениями в конечной точке интервала и соответствующей оценки для решения. Этот вектор показывает, на сколько близко найденное решение к истинному.

Наша задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Поэтому функция D имеет вид

Задаем граничные условия:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка содержит два начальных условия. Нам известно только одно. Начальное приближение для недостающего значения задаем в векторе v, который в нашем случае состоит только из одного элемента. Несмотря на это, индекс о должен быть обязательно указан, чтобы подчеркнуть векторный характер этой величины:

На левой границе интервала нам известно значение и задано начальное приближение для. Это значение записано в. Задаем вектор-функциюload. Ее нулевой элемент – начальное значение для , первый – для.

Теперь, когда нам стало известно недостающее начальное условие в задаче Коши, можно воспользоваться, например, функцией rkfixed