Геометрия Лобачевского
В мемуарах “О началах геометрии” (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г. Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата.
Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися.
Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особого рода кривую “предельного круга” - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал “предельной сферой”, а в настоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название “воображаемая геометрия” подчеркивает, что эта геометрия относится к евклидовой, “употребительной”, по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, “воображаемые”, по его терминологии, к действительным.
Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – “употребительная” или “воображаемая”, для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. “После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными”.
Это объясняет, что под “строгим доказательством теоремы о параллельных” в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться “употребительной геометрией”, не рискуя впасть в ошибку.
Наиболее полно изложена система Лобачевского в его “Новых началах с полной теорией параллельных” (1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.
В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” (Учен. зап. Казан. ун-та, 1836), многие из которых были включены в дальнейшие справочники.