Алгебра бинарных отношений

Булеан на декартовом произведении АВ множество бинарных отношений на паре множеств А,В 2^(А*В).

Элементы даного булеана — бинарное отношение, поэтому с ними как с множествами можно производить операции ,,, то есть можно сказать, что совокупность этих отношений образует булеву алгебру

1) Операция объединений бинарных отношений 

a,b A*B

abA*B

a(ab)b<=>a a b или a b b

<> ≠

<= ≤

≤> всюду истинно

2) операция пересечения бинарных отношений 

a,b A*B

abA*B

a(ab)b<=>a a b или a b b

<> всюду ложно

≤= =

<= пустое множество

3) Дополнение до декартового произведения А*В

aA*B

aA*B

aA, bB

aab <=> неверно aab

Кроме операций ,, важными операций над бинарными отношениями является отрицание и произведение бинарных отношений.

4) Обращение бинарного отношения aA*B Обратным бинарным отношением a^(-1)(или обращением) называется бинарное отношение, опред. На В*А такое, что ba^(-1)a<=> aab

aA, bB a1<^(-1)a2<=>a2<a1<=> a1>a2

<^(-1) = >

< = ≥

5) Произведение бинарных отношений

aA*B, bB*C

aA, сC

a(a*b)c<=>существует bB, a a b , bbc

Если aA*B, bC*D, то их произведение считается неопределённым.

a*b={(a1,c2), (a2, c2), (a3,c2)}

Два элемента aA, сC a*b тогда и только тогда, когда в их графическом изображенииесть путь из «а» в «с»

Если a,bA*A, то их произведение тоже определено на множестве А.

Алгеброй бинарных отношений на множестве А называется множество всех бинарных отношений на множестве А вместе с операциями (2^(A*A),,,, ^(-1), *)

Булеан на множестве А^2 замкнут относительно операций 2^(A*A),,,, ^(-1), *, то есть применяя эти операции к элементам данного булеана в результате получим элементы этого же булеана.

Свойства бинарных отношений

Бинарным отношением на множестве А называется диагональным, если оно состоит из всевозможных пар одинаковых элементов. В графичном изображении диагонального бинарного отношения каждый элемент имеет петлю, других дуг нет.

Бинарное отношение на множестве А называется рефлексивным, если каждый элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Для рефлексивного бинарного отношения в графичном изображении возможны кроме петель другие дуги.

Бинарное отношение a на множестве А называется транзитивным, если a a b , bac =>a a c

Бинарное отношение транзитивно тогда и только тогда, когда из а есть дуга в b из b есть дуга в с

Бинарное отношение a на множине А называется симметричным, если a a b => baa

Бинарное отношение a на множине А называется антисимметричным, если a a b, baa => a=b

Бинарное отношение a на множине А называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлективно, симметрично и транзитивно

Бинарным отношением на множине А называется отношением порядка, если оно одновременно рефлективно, антисимметрично и транзитивно.

Пусть Е2={0, 1}. Булевой функцией f наз. отображение вида f: E2nE2 или f=f(x1, x2, …xn). Всевозможные упорядоченые последовательности из нулей и единиц наз. набором. |E2n|=2n. Область определения ф-ции конечна, поэтому ее удобно описывать с помощьб таблиц истиности. Каждый набор x1, x2, …xn можно рассматривать как некоторое двоичное число. будем предполагать, что наборы x1, …xn упорядочены в таблице по возрастанию (как двоичные числа). Каждый последующий набор получается из предыдущего прибавлением двоич. единицы (00…1). Последний столбец табл. истиности обозначается Nf или f. Бул. ф-ция от n переменных однозначно определяется столбцом своих значений. Длинна столбца 2n и каждый эл. принимает одно из двух значений. Поэтому число бул. функций равно 22^n. Если мн-во всех бул. функций Р2(n), то |Р2(n)|=22^n. Ф-ции 2n и 22^n быстро растут с ростом n и поэтому распознование св-в бул. ф-ций полным перебором строк таблицы истиности и полным перебором бул. ф-ций от n переменных на практике возможно только для небольших n. Перебор строк – для n40. Перебор бул. ф-ций – для n6. Этот результат не зависит от быстродействия машин.

Переменную xi наз. несуществественной (фиктивной) для ф-ции f(x1, x2, …xn), если ее значение не влияет на значение ф‑ции. Пусть =(1, 2,…i-1, 0, i+1,… n) и ’=(1, 2,…i-1, 1, i+1,… n). Тогда  и ’ – соседние наборы по переменной i, понятно, что хi несущественна для f, если  и ’ f()=f(’). В противном случае переменную будем наз. существенной. Удаление фиктивной переменной осуществляется след. образом: из каждой пары соседних наборов оставляем один, а второй удаляем и даляем столбец, соот-щий фиктивной переменной. Операция введения фиктивной переменной осущ. в обратном порядке.

Две бул. ф-ции наз. равными, если одна из них получается из другой путем добавления или удаления фиктивной переменной. Среди бул. ф-ций выделяются элементарные бул. ф-ции: 1)константы: 1, 0; 2)тождественная ф-ция: х; 3)отрицание:х; 4)