2.8 Морфизмы групп

Для исследования общих свойств групп необходимо научиться сравнивать группы независимо от их элементов и групповых операций. Это необходимо для ответа на вопрос: различны ли эти группы или одинаковы?

Такое исследование мы начнем со сравнения двух групп, не раскрывая смысл групповой операции и природы элементов группы.

Пусть G и – две группы с операциями и * соответственно. Как их сравнить? Наиболее простой прием, если группы конечны, построить для них таблицы Кэли. Пусть , а элементы группы имеют вид:

, .

Таблица Кэли для группы G Таблица Кэли для группы

Таблица Кэли содержит полную информацию о группе. Анализ таблицы Кэли позволит установить многие свойства группы, например:

• в каждой строке и в каждом столбце элемент группы G встречается только один раз;

• группа G абелева тогда и только тогда, когда таблица Кэли симметрична, т.е. .

Однако сравнивать две таблицы Кэли для групп G и одинакового порядка довольно затруднительно, т.к. вид таблицы Кэли зависит от нумерации элементов группы. Для бесконечных групп ситуация еще более осложняется. Наиболее эффективный подход к сравнению (отождествлению или различию) групп и дает понятие изоморфизма (isos – греч. –