Алгебра множеств (алгебра Кантора)

Алгебра Кантора <B(I),,,->, носителем которой является булеан универсального множестваI, сигнатурой - операции объединения, пересеченияи дополнения -.

Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:

коммутативности объединения и пересечения:

М_аМ_в= М_вМ_а, М_аМ_в= М_вМ_а;

ассоциативности объединения и пересечения:

М_а(М_в М_с) = (М_аМ_в) М_с, М_а(М_вМ_с) = (М_аМ_в)М_с;

дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:

М_а(М_в М_с) = (М_аМ_в) (М_аМ_с),

М_а(М_вМ_с) = (М_аМ_в)(М_аМ_с);

идемпотентности объединения и пересечения:

М_аМ_а= М_а, М_аМ_а= М_а;

де Моргана

,;

двойного дополнения

.

Выполнимы также следующие действия с универсальным Iи пустыммножествами:

М = М, М=, МI = I,

М I=М, М=I, М=.

Алгебра Кантора по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой, так как для этих операций выполняются законы коммутативности и ассоциативности, но она не является группой, поскольку уравнения М_аХ = М_в, М_аХ = М_в не имеют решения, например, для случая, когда множества не пересекаются: М_аМ_в=. Поэтому алгебра Кантора по двухместным операциямине является кольцом. Эта алгебра принадлежит к другому классу фундаментальных алгебр - к классу решеток, который рассмотрен ниже.