Группа подстановок Галуа

Рассмотрим знаменитую группу подстановок, которую исследовал выдающийся французский математик Э.Галуа (1811-1832).

Обладая феноменальными математическими способностями, он настолько опередил современников в своих теоретических исследованиях, что при жизни так и не был понят даже великими Фурье и Пуассоном, и даже не был принят в Политехническую школу - центр математической мысли Франции тех лет. "Неистовый республиканец", "любимец богов" был отважным революционером, сидел в тюрьме за участие в антиправительственных выступлениях и погиб на дуэли в возрасте 20 лет естественно из-за женщины. Основную часть своих результатов он записал майской ночью перед дуэлью, а признан был только спустя много лет после смерти. Хотя его труды составляют около 60 страниц, многое еще до сих пор не понято математиками и ждет своего разрешения.

Подстановкой n-ой степени называется взаимно однозначное отображение множества изnэлементов на себя.

Рассмотрим всего три элемента: х₁, х₂, х₃.

Существует шесть вариантов последовательностей из трех элементов:

х₁х₂х₃, х₂х₃х₁, х₁х₃х₂, х₃х₁х₂, х₂х₁х₃, х₃х₂х₁.

Запишем порождение этих вариантов следующим образом:

Эта запись означает, что х₁переходит (отображается) в х₂, х₂- в х₃, х₃- в х₁.

Число таких возможных постановок равно числу вариантов последовательностей. Обозначим возможные подстановки:

,,,

,,.

Произведением постановок назовем последовательное выполнение сначала первой, а затем второй из перемножаемых подстановок.

Например,

Таким образом, имеем алгебру <П,о>, где П - множество подстановок{а,в,с,d,e,f}, о - бинарная операция П²П.

Соответствующая таблица Кэли для алгебры постановок Галуа имеет вид табл.1.3.

Табл.1.3. Таблица Кэли для алгебры

подстановок Галуа

j i	а	в	с	d	e	f
a	a	в	с	d	e	f
в	в	а	d	с	f	е
с	с	е	а	f	в	d
d	d	f	в	е	а	с
е	е	с	f	а	d	в
f	f	d	е	в	с	а	ioj

В такой алгебре выполняется закон ассоциативности, но не выполняется закон коммутативности.

Нейтральным элементом является подстановка а.

Группа - это полугруппа взаимно однозначных преобразований, причем именно однозначность гарантирует наличие обратного преобразования. Можно сказать, что в группе при любом числе умножений не теряется информация об исходном элементе: если известно, на что умножали, всегда можно узнать что умножали. Для полугруппы это верно не всегда. Пусть дана дискретная система с конечным числом состояний S={S₁,...,S_n}, на вход которой может быть подано входное воздействие из множестваx={x₁,...,x_m}. Всякие входные воздействия однозначно переводит состояние системы в некоторое другое состояние, т.е. является преобразованием множестваS. Последовательности воздействий - композиция преобразований, поэтому множество всех последовательностей - полугруппа с образующими{x₁,...,x_m}. Если такая полугруппа является группой, то по любой входной последовательности и заключительному состоянию системы можно однозначно определить ее начальное состояние.

Алгебра <М,х,+>, которая по умножению () является мультипликативным группоидом, а по сложению (+) - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законом дистрибутивности

а(в+с)=ав+ас

(в+с)а=ва+са,

называется кольцом. Например, числовыми кольцами являются множество целых чиселZ, множество рациональных чисел R, множество действительных чиселD, множество комплексных чисел К.

Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом(имеются обратные элементы по умножению). Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называетсяполем. Таковы поля Галуа.