Бутылка Клейна

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем.

Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты – бутылку Клейна в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а еe поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней, как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные, "стороны" листа Мебиуса. К сожалению, в трехмерном пространстве нельзя построить бутылку Клейна, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения.

Традиционный способ изображения бутылки Клейна: представим себе, что мы оттянули нижний конец трубки, загнули его вверх и, пропустив сквозь поверхность трубки, совместили с верхним концом. У реальной модели, изготовленной, например, из стекла, в том месте, где конец трубки проходит сквозь ее поверхность, придется оставить отверстие. Его не следует принимать во внимание: оно считается как бы затянутым продолжением поверхности бутылки. Иначе говоря, отверстия нет, есть только самопересечение поверхности бутылки. Такое самопересечение неизбежно до тех пор, пока мы имеем дело с трехмерной моделью. Если же мы представим себе, что вся поверхность погружена в четырехмерное пространство, то самопересечение можно будет полностью исключить.

Прежде всего следует соединить между собой края АВ и А'В'.

На рис.43 одинаковыми буквами обозначены точки, которые мы будем соединять друг с другом. Подобным образом поступают в случае листа Мёбиуса, но теперь придется соединить и два оставшихся края АВ' и А'В. Истинные размеры на рис. 10 искажены, а стрелки показывают, что первая пара краев соединена с перекручиванием, а вторая – без него. Если читатель начнет строить

рис 10 бумажную модель, то ему покажется совершенно невозможным выполнить указанные операции. Даже если мы захотим, дабы облегчить соединение, добавить еще бумаги, то какую форму следует придать этому дополнительному куску? Вырезая нужную форму, мы окажемся в ситуации, близкой к той, когда человек должен снять свой пиджак, вывернуть один из рукавов наизнанку, снова надеть пиджак и застегнуть пуговицы.

Лучше всего подойти к решению задачи, проделывая операции в обратном порядке. Сначала мы соединяем верхний край с нижним, в результате чего получается цилиндр. (Представим себе, что этот цилиндр достаточно длинен.) Теперь стрелки покажут нам направления обхода двух круглых концов цилиндра. Если мы согнем цилиндр и соединим его концы (получив при этом тор), то стрелки, указывающие направление обхода, будут согласованы между собой, то есть будут направлены в одну сторону (рис. 11). Поэтому мы не должны забывать, что при втором соединении перекручивание отсутствует, хотя из-за того, что все четыре вершины сходятся в одной точке, это обстоятельство не так заметно.

рис. 11 рис. 12 рис. 13

Перекручивание цилиндра на пол-оборота вовсе не равнозначно перекручиванию еще не склеенной полоски, ибо, даже если точка А и не совпадет с А', направления стрелок на обоих концах все равно останутся согласованными. Таким образом, понятие согласования стрелок оказывается более фундаментальным и аналогично понятию ориентации спиральных дыр. Но нам нужно склеить круглые концы так, чтобы направления соответствующих стрелок были противоположными; перекручивание нам здесь не поможет, мы должны придумать что-то другое, например соединить концы так, как показано на рис.12. Как видите, для этого один конец следует сделать уже и пропустить его сквозь боковую поверхность. На рис.12, б бутылка Клейна показана так, как ее обычно изображают; на рис.13 представлен более симметричный вариант той же поверхности.

рис. 14

В последнем случае соединение двух круглых концов выглядит как нечто острое (в соответствующем месте на поверхности получается излом), но мы не должны забывать, что в идеале не следовало бы применять такие соединения. Все же в случае бумажной модели, когда два плоских куска соединяются подобным образом, мы можем вообразить, что они распрямлены (рис.14), даже если это и не имеет места на реальной модели. Второй вариант бутылки Клейна легче сделать из бумаги, чем первый. Следует помнить, что если два плоских куска соединяются так, как показано на рис.14, то стороны, которые обращены друг к другу, соединяются между собой так же, как и стороны, которые не обращены друг к другу.

Вторую новую поверхность, проективную плоскость, мы пока трогать не будем из-за почти фатального несовершенства соответствующей квазимодели, понять которую мы сможем лишь в свете дальнейших рассуждений. Здесь же мы можем только сказать, что соответствующая конструкция включает в себя не только склеивание оставшейся части листа Мёбиуса, но и склеивание с перекручиванием, при котором перекручиваются и склеиваются обе пары противоположных краев. Там, где соответствующая поверхность (рис.12–13) сама себя пересекает, мы должны представить себе, что этого самопересечения нет (вещь, совершенно немыслимая в реальной жизни). Наше самопересечение имеет совсем другой характер, чем обычное пересечение поверхностей: оно не требует, чтобы поверхность имела разрывы. То есть при таком самопересечении ни одна из частей данной поверхности не нарушает непрерывности, другой части. Это не выполнимо на реальной модели, но с математической точки зрения вполне допустимо. Если мы будем двигаться по точкам нашей поверхности, то обнаружим, что ни в какой момент у нас не возникает сомнения в том, куда, собственно, следует смещаться, как это было в случае точек, находящихся на линии пересечения, причем последнее верно как для точек пересекающей, так и для точек пересекаемой частей данной поверхности.

Место самопересечения бутылки Клейна (рис.15) можно выбрать произвольным, причем на линии самопересечения нет точек, принадлежащих одновременно обеим частям данной поверхности – ее узкому «горлышку» и главному корпусу. Предполагается, что часть корпуса, в которой проделана дыра, остается непрерывной: дыра сделана лишь для удобства практического построения модели, но мы считаем, что ее как бы и нет.

Если мы проследуем взглядом по внешней стороне поверхности, то увидим, что она связана с горлышком и тем самым со всеми частями поверхности. Начиная от верхнего ободка, мы можем, подобно жуку, спуститься вниз по внешней части или вниз в горлышко и тем самым внутрь. Таким образом, мы видим, что бутылка Клейна неориентируема. У бутылки Клейна — всего одна сторона.

рис. 15 Однако в отличие от листа Мёбиуса у нее нет краев: обе пары краев полоски склеены и, следовательно, вся полоска стала одной гранью. Именно по этой причине мы в свое время настаивали, чтобы при конструировании бутылки Клейна (равно как и проективной плоскости) склеивались все пары краев. Теперь естественно возникает вопрос: а что случится, если мы разрежем бутылку Клейна пополам? Останется ли при этом, как в случае листа Мёбиуса, одна часть, но уже с двумя краями? Ответ зависит от того, где и как мы проведем разрез. Если мы разрежем классическую модель (рис. 15) симметрично по центру, то получатся две части странной формы, которые на проверку окажутся листами Мёбиуса: один будет закручен вправо, а другой — влево, так что получаться они будут друг из друга зеркальным отражением (рис. 16). Поверхность, изображенная справа, последовательно де формирована, дабы стало очевидным, что она гомео- морфна листу Мёбиуса.

На самом деле построить классическую модель довольно трудно, так что давайте вернемся к листку бумаги и попробуем сделать другой вариант той же поверхности. Посмотрим на модель изображенную на рис. 13, и посмотрим, нельзя ли сделать ее плоский вариант из бумаги. Сложим, как а раньше, полоску вдоль горизонтальной прямой (рис. 17). Теперь можно, склеив края, получить цилиндр, однако пока мы не будем этого делать. Загнем концы' сложенной полоски вверх (рис. 86, а) и всунем один конец внутрь другого.

Можно заметить, что углы А', В' не соприкасаются с углами А, В; Края А'В' и АВ правильно согласованы между собой. Если посмотреть сверху на их концы, то можно увидеть расположение, показанное схематически на рис. 18, б. Можно заметить, что с точки зрения согласованности оно аналогично расположению, представленному на рис. 18, в, при котором соответствующие точки краев находятся напротив друг друга. Однако после того, как мы деформируем и склеим края, в результате чего они станут круглыми, будет иметь значение лишь согласованность или несогласованность соответствующих направлений обхода.

Обратимся к рис. 18, а: мы склеиваем край А'С' с СВ, а В'С' — с СА, оставляя дыру между СВ и СА (верхняя часть горлышка .бутылки Клейна). Участок самопересечения расположен от х до С. Два ранее не склеенных участка длинных краев (части краев АВ' и ВА', расположенные ниже х, а также внутри, от х и выше вплоть до С') можно теперь соединить, в результате чего мы получим бумажную модель симметричной бутылки Клейна.

Если мы не станем делать этой последней склейки, а будем рассматривать ее отсутствие как часть нового разреза, который мы продолжим вдоль продольной складки СС', то получим два упомянутых ранее листа Мёбиуса: один — зеркальный образ другого. Снова заметим, что соединения, сделанные под острым углом в верхней части этих листов Мёбиуса,как На рис. 18 представлено гомеоморфное преобразование описанной модели в более обычный вариант бутылки Клейна. На последнем рисунке пунктирная линия показывает, где следует провести разрез, чтобы получить два листа Мёбиуса, как у полученной выше бутылки Клейна, можно (в случай бутылки мысленно) сгладить.

На рис. 18 представлено гомеоморфное преобразование описанной модели в более обычный вариант бутылки Клейна. На последнем рисунке пунктирная линия показывает, где следует провести разрез, чтобы получить два листа Мёбиуса.

Помня о том, как следует ориентировать перед склейкой края АВ и А'В', давайте попробуем соединить их по-другому — согласно рис. 18, в. Для этого перекрутим часть А'С'В на пол-оборота (рис. 19). При этом, как мы знаем, согласование ориентаций не изменится. Но если мы теперь, соединив, как и ранее, АСВ и А'С'В', не будем вовсе склеивать края АВ' и А'В, а станем рассматривать один этот несклеенный участок как разрез и развернем модель, то получим в результате единственный лист Мёбиуса (сложенный продольно с острой поперечной складкой в АА' — ВВ').

Обнаружить этот разрез на обычной модели не так- то просто: на рис. 20, а мы можем' заметить, что он не разбивает бутылку Клейна на две отдельные части. На рис.20,б, виг показано, как развертывается такая модель.

Рис.16

Рис. 17 Рис. 18

рис 19

рис 20

Рис. 20