logo
topology / Многообразия / Бутылка Клейна 1

Квант, 1975, №12.

  • http://www.newsland.ru/index/search/ - про дом в виде бутылки Клейна

  • С. Барр, «Россыпи головоломок», Москва, «Мир» 1987

    1. Введение

    2. Немного о топологии

    3. Статья из журнала Квант «Бутылка Клейна»

    4. Бутылка Клейна

    5. Свойства бутылки Клейна

    6. Конструирование бутылки Клейна

    7. Как выглядит бутылка Клейна?

    8. Бутылка Клейна в культуре

    Введение. Тема работы - «бутылка Клейна». Она напрямую связана с листом Мёбиуса и, действительно, является загадочной. В математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо. У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность.

    Немного о топологии. Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. стал головокружительный взлет науки, известной под названием топология. Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности». Это малопонятное и туманное описание позволяет тем не менее уловить суть предмета. Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать, но не разрешается рвать и ломать. Можно было бы дать строгое определение «непрерывности», однако пока мы ограничимся интуитивным представлением о ней.

    Какого рода свойства являются топологическими? Ясно, что не те, которые изучаются в обычной евклидовой геометрии. Прямолинейность не есть топологическое свойство, потому что прямую линию можно изогнуть, и она станет волнистой. Треугольность — тоже не является топологическим свойством, ибо треугольник можно непрерывно деформировать в окружность (рис.1).

    рисунок 1 рисунок 2 рисунок 3

    В топологии треугольник и окружность — одно и то же. Длины отрезков, величины углов, площади — все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях, и о них следует забыть. Очень немногие привычные понятия геометрии годятся для топологии, поэтому приходится искать новые. Этим топология трудна для начинающего, пока он не постигнет сути дела.

    Образцом топологического свойства объекта служит наличие дырки у бублика (причем довольно тонкая сторона этого дела — тот факт, что дырка не является частью бублика). Какую бы непрерывную деформацию ни претерпел бублик, дырка останется. Другое топологическое свойство — наличие края. Поверхность сферы не имеет края, а пустая полусфера имеет, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии это изменить. Существует очень много различных непрерывных преобразований, поэтому топологам что бублик, что какая- нибудь другая штука с одной дыркой — все едино. У тополога меньше объектов изучения, и в этом смысле предмет изучения в топологии проще, чем в большинстве других разделов математики (хотя сама топология как предмет отнюдь не проще других). В этом одна из причин того, что топология превратилась в мощный инструмент математики в целом: ее простота и общность обеспечили ей широкий круг применений.

    Топологическая эквивалентность. Основные объекты изучения в топологии называются топологическими пространствами. Интуитивно их можно представлять себе как геометрические фигуры. Математически это — множества (иногда — подмножества евклидова пространства), наделенные дополнительной структурой под названием топология, которая позволяет формализовать понятие непрерывности. Поверхность сферы, бублика (правильнее — тора) или двойного тора — это примеры топологических пространств (рис.2).

    Два топологических пространства топологически эквивалентны, если можно непрерывным образом перейти от одного из них к другому и непрерывным же образом вернуться обратно. Часто говорят, что тополог не отличает бублика от кофейной чашки. Это как раз и есть пример топологической эквивалентности (рис.3).

    Нам приходится вводить требование непрерывности как прямого отображения, так и обратного к нему, по следующей причине. Возьмем два куска глины и слепим их вместе. Такое преобразование непрерывно, поскольку близкие друг к другу точки останутся таковыми (рис.4). Однако при обратном преобразовании один кусок распадается на два (рис.5), и, следовательно, близкие точки по разные стороны от линии раздела окажутся далеко друг от друга, т. е. обратное преобразование не будет непрерывным. Такие преобразования нам не подходят.

    Статья из журнала Квант «Бутылка Клейна». Некоторые необычные пространства. Если бы все они пространства были такими удобными, как сфеpa или тор, вряд ли стоило бы заниматься топологией. Несколько более экзотических примеров, возможно, помогут разбудить вашу интуицию.

    Вы, наверное, слышали о ленте (или листе) Мебиуса, которую можно получить из бумажной полоски, склеив ее края после поворота на 180° (рис.4).

    рисунок 4 рисунок 5 рисунок 6

    Лента Мёбиуса топологически не то же самое, что цилиндрическая лента, склеенная из той же полоски. Она имеет только один край (посчитай). Поскольку количество краев — топологическое свойство, а цилиндрическая лента имеет два края, эти две ленты топологически неэквивалентны.

    Если соединить края двух лент Мёбиуса, получится поверхность, называемая бутылкой Клейна (рис.5). У нее нет краев, и она неориентируема, потому что неориентируемы ленты Мёбиуса. Кроме того, ее нельзя вложить в трехмерное пространство так, чтобы не было самопересечений.

    Бутылку Клейна можно описать по-другому: представьте себе квадрат, стороны которого склеены так, как показывают стрелки на рис.5 (сначала верхняя сторона склеивается с нижней и получается цилиндр. Затем, чтобы правильно склеить края цилиндра, его надо согнуть и протолкнуть сквозь самого себя.) При помощи этой же диаграммы можно убедиться в том, что бутылка Клейна действительно получается из двух лент Мёбиуса: разрежем ее, как показано на рис.6.

    Иногда можно услышать какие-то утверждения о внутренней и наружной стороне бутылки Клейна. Они бессмысленны: в трехмерном пространстве ее построить нельзя, а в четырехмерном, где ее можно сделать без самопересечений, говорить о внутренности бутылки Клейна — всеравно, что говорить о внутренности окружности в трехмерном пространстве,— можно в нее войти и из нее выйти без всяких препятствий.

    Свойства бутылки Клейна

    1. Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым (локальное евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой) неориентируемым многообразием. Многообразие — топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

    2. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R3, но вкладывается в R4.

    3. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно.

    Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная на рис.7 (необходимо помнить, что рис.7 изображенного пересечения на самом деле нет).

    Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

    К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:

    1. Хроматическое число – минимальное число k, такое что множество V вершин графа можно разбить на k непересекающихся классов таких, что вершины в каждом классе независимы, то есть любое ребро графа не соединяет вершины одного и того же класса. Хроматический номер равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6, а число Бетти равно 2 Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались. Сделать это не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку.

    2. Непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

    3. Ориентируемость. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.