Зрелость греческой математики

Период зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н.э.). Наиболее значительными фигурами этого периода были:

Евклид (315-255 г. до н.э.)

Евклид. Оксфордский университетский музей естественной истории

Автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд – «Начала». «Начала» Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений. «Начала» состоят из 13 книг (глав). 1-6 -планиметрия 7-9 -арифметика 10 -несоизмеримые величины и теория пропорций 11-13 -стереометрия Есть предположения, что Евклид построил учебник логики в духе Платона-Аристотеля на математическом материале, этим в частности можно объяснить отсутствие всяких приложений математики в «Началах». Интересно отметить следующее:  1. «Начала» являлись первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики (также попытки предпринимались до Евклида) 2.Вычислительная сторона математики полностью отсутствовала 3.Нет приложений В первой книге 23 определения, которыми фактически Евклид не пользуется, 5 постулатов и 9 аксиом. Постулаты носили геометрический характер и начинались со слов "требуется". Они отражали возможности построений множеств плоскости с помощью циркуля и линейки. В древнегреческой математике существовали требования, идущие от Платона.  Математический объект считался существующим, если его удавалось построить с помощью циркуля и линейки. Знаменитые задачи древности с помощью циркуля и линейки решить не удавалось, поэтому они считались неразрешимыми. Вычислительная сторона математики не была достойна внимания греческих мыслителей.

Диофант (ок. 3 в. до н.э.)

В конце II в. н.э. начинается закат греческой математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- «Арифметика», по предположению, состоит из 13 книг (глав) Главные заслуги Диофанта: 1. Отказ от геометрической алгебры древних греков. Введение буквенной алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики. 2. Расширение понятия числа. 3. Заложил основы теории неопределённых уравнений, которые приводят в последствии к теории чисел. Если древнегреческая геометрическая алгебра имела дело со степенями не выше третьей, то Диофант это ограничение фактически снимает. У Диофанта расширение понятия числа наряду с положительными числами появились отрицательные числа и отрицательные показатели степеней. Диофант аксиоматически вводит умножения степеней, которые в современной форме имеют вид X^m*X^n = X^(m+n)

Архимед (ок. 287-212 г. до н.э.)

Архимед был знаменитым механиком и математиком, главная особенность его математических работ в отличии от Евклида - приложение к механике. По математике Архимедом выполнены работы по вычислению площади и объёма (предварительно Архимед взвешивал различные пластины и тела), усовершенствовал метод исчерпывания, изложенным Евклидом -этим методом доказывается, что квадратуру круга , т.е. вычисление площади круга можно решить с помощью вписывания правильных многоугольников, неограниченно удваивая число их сторон, тогда площади таких многоугольников исчерпывают площадь круга. Интегральные методы Архимед изложил в следующих работах. 1. «О шаре и цилиндре»  2. «О спиралях»  3. «О коноидах и сфероидах»  В этих работах он ввёл понятия верхних и нижних сумм.  В XIX веке эта идея воплощена Дарбу, разность площадей может быть сколь угодно малой при увеличении числа сторон вписанными и описанными окружностью. В работах Архимеда содержатся и дифференциальные идеи, когда он рассматривает о максимальной функции и касательной к кривой.

Апполоний (260-170 г.до н.э.)

Главный его труд «Конические сечения», посвящённый изучению кривых второго порядка. Установил характерные свойства эллипса, гиперболы и параболы. Предшественником Апполония был Менехм (греческий математик, ок. IV в. до н.э.), который использовал конические сечения при решении задачи об удвоении куба. Менехм рассматривал сечения конусов плоскостью перпендикулярной образующим, при этом он рассматривал разные типы конусов - остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, но углы наклона плоскостей к образующим разные, в результате для одного и того же конуса имеем различные конические сечения. В работах Апполония просматривается идея координат, где точки кривой "привязываются " к серединам диаметра кривых. Название кривых - фокус и ассимптоты даны Апполонием.