1.4. Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: S_c?S_b?S_a=S_l. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству S_c?S_b?S_a=S_l эквивалентно равенство

S_c?S_b=S_l?S_a . ()

Если прямые b и c параллельны, то S_c?S_b=. Тогда и правая часть равенства () является переносом: S_l?S_a=. А значит прямые a и l также будут параллельными.

Таким образом, получили, что, если прямые b, c параллельны, то все оси a, b, c и l попарно параллельны (рис. 9а).

Рис. 9а Рис. 9б

Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция S_c?S_b является поворотом R_h (см. [3], c. 15), где h - перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси h, угол =2(b, c) (рис. 9б). Тогда и композиция S_l?S_a является этим же поворотом R_h, значит h - перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l, точка пересечения A которых принадлежит оси h, и ориентированный угол между a и l равен углу поворота .

Таким образом, если оси b и c пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b и c, пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b и c. Ось l удовлетворяет следующим условиям: точка пересечения A прямых a и h принадлежит l, l параллельна плоскости (b, c), ориентированные углы (a,l)=(b,c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки A и O совпадают, т.е. ось l также походит через точку A.

Если прямые b и c скрещиваются, то композиция S_c?S_b является винтовым движением R_h²?, ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор коллинеарен оси h, угол равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства () композиция S_l?S_a является этим же самым винтовым движением: S_l?S_a=R_h²?, то есть h - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a и l, и угол (a, l)= .

Рис. 9в

Таким образом, если оси b и c - скрещивающиеся, то прямые a, b и c попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: l и h - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, c и a, l равны, и углы между этими осями также равны.

Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.

Задача 10. Композиция трех осевых симметрий есть перенос: S_c?S_b?S_a=. Каково взаимное положение их осей?

Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция S_c?S_b является переносом . Тогда ?S_a=, полученное равенство эквивалентно равенству S_a=? или S_a= (этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция S_c?S_b?S_a при параллельных b и c не может быть переносом.

Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция S_c?S_b является поворотом R_h, где h - перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси поворота h, и угол =2(b, c). Тогда исходная композиция S_c?S_b?S_a= будет эквивалентна следующей композиции R_h?S_a=. Такое возможно только, если поворот R_h является осевой симметрией пространства, т.е. угол = , при чем оси симметрий a и h параллельны, и расстояние между ними равно . В силу этих рассуждений, получили, что ось a перпендикулярна плоскости (b, c), а прямые b и c перпендикулярны между собой.

Таким образом, при пересекающихся осях b и c для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a, b и c были попарно перпендикулярными.

Если b и c скрещиваются, то композиция S_c?S_b является винтовым движением R_h?, где h - общий перпендикуляр прямых b и c, угол =2(b, c), =(рис. 10).

Рис. 10

Следовательно, S_c?S_b?S_a= эквивалентно равенству R_h?=?S_a. А это возможно, если угол =, и прямые a и h параллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна b и c. Т.е. исходное равенство при скрещивающихся прямых b и c возможно, если все три оси взаимно перпендикулярны.

Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.

1.5. Применение композиций движений пространства к решению задач

Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.

Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.

Решение. Пусть DE, DF - биссектрисы плоских углов ADB и BDC, DH - биссектриса угла, смежного с углом ADC, т.е. DAE=EDC, BDF=FDC, CDH=HDK (рис.11).

Рис. 11

Рассмотрим композицию f трех осевых симметрий: f=S_DH?S_DF?S_DE. Движение f - это движение первого рода, как композиция движений первого рода. К тому же композиция S_DH?S_DF?S_DE отображает прямую AK на себя, точка D при этом неподвижна. Следовательно, рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.

Воспользовавшись выводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий, можно сказать, что прямые DE, DF и DH лежат в одной плоскости.

Задача 12. Через вершину D прямого трехгранного угла DABC внутри его проведен луч DO. Доказать, что выполняется неравенство:

(DO, DA)+(DO, DB)+(DO, DC)<180.

Решение. Обозначим через DE, DF и DH лучи, симметричные лучу DO относительно прямых DA, DB и DC соответственно (рис. 12). Поскольку трехгранный угол DABC - прямой, то прямые DB и DC перпендикулярны, и S_DC?S_DB=S_DA (как композиция двух поворотов). Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии S_DA:

S_DA(DF)=(S_DC?S_DB)(DF)=S_DC(DO)=DH, кроме того S_DA(DO)=DE.

Следовательно, (DO, DF)=(DE, DH). Аналогично можно доказать, что (DO, DE)=(DF, DH) и (DO, DH)=(DE, DF).

Рис. 12

Оценим искомую сумму углов, учитывая полученные равенства:

(DO, DA)+(DO, DB)+(DO, DC) =

= (DO,DE) + (DO,DF) + (DO,DH) = ( (DF,DH) + (DE,DH) +

+ (DE,DF) ). Лучи DE, DF и DH являются ребрами трехгранного угла DEFH, а значит сумма (DF,DH)+(DE,DH)+(DE,DF)<360.